|
ГЛАВА 10 ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ УСТНЫХ ЭКЗАМЕНОВ АЛГЕБРА, ТРИГОНОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ АНАЛИЗА.
3683. При каком значении q сумма кубов корней уравнения х2 — х — q = 0 будет равна 19? 3684. Решить уравнение x2 + px + 35 = 0, зная, что сумма квадратов его корней равна 74. 3685. Не решая уравнения x2 — 3х— 10 = 0, вычислить разность кубов его корней. 3686. Имеет ли уравнение (2х— 1)2+ (х+ 1)2 = 0 действительные корни? 3687. Сколько действительных корней имеет уравнение 0,3х =x2— х + l ? 3688. Проверить аналитически, что для уравнения 2х + x2 — 3 = 0 оба корня больше (—√3 ), причем один точно равен 1. 3689. Решить уравнение x3 + х — 2 = 0. Убедиться в том, что сумма всех корней этого уравнения равна нулю. Нельзя ли было в этом убедиться, не находя самих корней? 3690. Графически решить уравнение | х — 1| + 2х — 5 = 0. 3691. Показать графически, что уравнение lg х = lg 2х корней не имеет. 3692. Сколько корней имеет уравнение x3 = sin3x? 3693. Показать графически, что уравнение √9 —x2 — log3 (| х | — 3) = 0. действительных корней не имеет. 3694. Сколько действительных решений имеет система уравнений
3695. Решить уравнение | x2 — 3/2x —1| = —x2 — 4х + т. При каких значениях т оно имеет единственное решение? 3696. Найти число x из того условия, что числа 1, 7, 13, ..., х составляют такую арифметическую прогрессию, для которой 1 + 7 + 13+ ... + x = 280. 3697. Найти рациональные корни уравнения
3698. Найти целые корни уравнения x3 — | x — 1 | = 1. 3699. Чему равна сумма всех корней всякого биквадратного уравнения? 3700. Показать, что сумма корней любого двучленного уравнения равна нулю. 3701. Равносильны ли уравнения
3702. Показать, что уравнение sin x + sin 2x = 2 не имеет решений. 3703. При каком значении т система
имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений? В примерах 3704 — 3706 определить знак числа:
3707. Чему равно основание логарифма, при котором число а равно своему логарифму?
3710. Вычислить без таблиц lg32,11 — lg0,03211. 3711. Вычислить log 1/2 28, если log72 = a. 3712. Найти lg2√x , если известно, что logx100 = a. 3713. Найти log92,97, если известно, что lg3 = a и lg11=6.
3718. Чему равно произведение log3 2 • log4 3 • log5 4... log 10 9, если известно, что lg 2 = 0,3010? 3719. Вычислить без помощи таблиц lg 2 и lg 5, зная, что lg 2 • lg5 = 0,2104. 3720. Определить знак произведения lg sin 32°• lg cos 17° • lg tg40°• lg ctg 20°. 3721 Какой знак имеет число lg arctg 2? 3722. Доказать, что log2 5 — иррациональное число. 3723. Всегда ли неверно равенство lg(a + b) = lg a + lg b?
3751. Для каких точек оси Ох выполняется неравенство sin x < 1/2 неравенство |sin x| < 1/2 3752. Что больше: sin 2x или 2 sin x? 3753. Для различных х из области допустимых значений выяснить, какая из величин больше: lg x2 или lg2x? 3754. Каковы возможные значения х, если logx(a2+1) < 0? 3755. Что больше 3400 или 4300? 3756. При каком значении а будет 3757. При каких значениях а корни уравнения x2 — 2(а — 3)x + a + 2 = 0 заключены между нулем и единицей? 3758. При каких значениях х выражение log 1/2(x2 — 8) неотрицательно? 3759. Доказать, что a/b +b/a >2 если ab > 0. 3760. Доказать, что если а + b + c = 1, то а2 + b2 + c2 > 1/3. 3761. Доказать, что сумма кубов катетов меньше куба гипотенузы. 3762. В любом.треугольнике сумма длин трех медиан меньше его периметра. Доказать. 3763. Если а, b, с соответственно — катеты и гипотенуза, то а + b < с √2 . Доказать. 3764. Доказать неравенство √a2 + b2 > 3√a3 + b3 В примерах 3765 — 3788 построить графики функций:
3789. График функции у = ax2 + bx + c изображен на рис. 15. Числа а, b и с сравнить с нулем.' 3790. График функции у = ax2 + bx + c изображен на рис. 16. Числа а, b и с сравнить с нулем. 3791. Построить график функции у= √ax2 + bx+ c , если а > 0 и b2 — 4 ас = 0. В примерах 3792 — 3797 найти область определения функции:
3813. Найти даибольшее значение функции у =1 +2х — х2 3814. Показать, что парабола у = х2— х + 5,35 не пересекает график функции у = 2 sin x + 3. 3815. Показать, что координаты всех точек прямой х + у = 2 удовлетворяют неравенству х2 + у2 > 2 и истолковать этот факт геометрически. В примерах 3816 — 3819 показать, где на плоскости расположены точки, изображающие комплексные числа z = a + bi, если: 3816. |a + bi|<1. 3817. l < |a + bi| < 3. 3818. |z —1| > 2. 3819. |z + i| < l. 3820. Для каких точек (х, у) плоскости хОу выполняется равенство | √2x + y | + i |√x + 2y | = √3 ? 3821. Найти геометрическое место точек плоскости, изображающих комплексные числа, аргумент которых равен 1/4π, а модуль не превосходит числа 3. 3822. Для каких точек (х, у) плоскости хОу выполняется равенство | √x2 + 4 + √y — 4 i | = √10 , 3823. Найти модуль и аргумент, числа z = √2 —3. 3824. Комплексное число z = sin α — i cos α записать в тригонометрической форме. 3825. Что больше: | 1 — i | или | (1 — i)2|? 3826. Найти действительные числа а и b, если а(2 + 3i) + b(3 + 2i) = 1. 3827. Рассмотрев случаи 0 < а < 1 и а > 1, выяснить, каким является число 3828. Для каких чисел п выполняется равенство (1 + i)n = (1 — i)n 3829. Вычислить (1 + i)100 не пользуясь формулой бинома Ньютона. 3830. Точки А и В изображают на плоскости комплексные числа а = 6 + 8i и b = 4 — 3i соответственно. Найти хотя бы одно такое число с, чтобы изображающая его точка с лежала на биссектрисе угла АОВ. 3831. Пусть α комплексное число. Символом α обозначается число, сопряженное числу α. Дать словесную формулировку следующих тождеств и доказать их:
3832. Ha числовой оси построить точки, изображающие числа √2 , √3 , √5 , √3+√2 и √3—√2 . 3833. Что больше: 123% от 456 или 456% от 123? Какое свойство процентов можно сформулировать, обобщая ответ на этот вопрос? Обосновать это свойство. 3834. На некоторый товар были дважды снижены цены — сначала на 15%, а затем еще на 20%. Каков общий процент снижения цены? 3835. Если среднее арифметическое десятичных логарифмов двух чисел равно q, то чему равно среднее геометрическое кубов самих этих чисел? 3836. С точностью до 0,01 найти 2√5,21 . 3837. Показать, что число √12345,67 иррационально. 3838. Освободить от иррациональности знаменатель дроби
3839. Что больше: 0,8—1,3 или 0,8—1,4? 3840. Сколько цифр содержит число 2100? 3841. В десятичной дроби 0,1234567891011121314... выписаны подряд все натуральные числа. Доказать, что эта дробь непериодическая. 3842. Произведение 3843. Через один кран вода вливается в бак за 3 часа, через второй — за 5 часов. За сколько времени вода заполнит бак, если открыть оба крана? Через один кран вода вливается в бак за 3 часа, через второй выливается за 5 часов. За сколько времени вода заполнит бак, если открыть оба крана? 3844. Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой сумма любого числа ее членов равна квадрату числа членов? 3845. Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой сумма любого числа ее членов равна кубу числа членов? 3846. Разделить a128 — b128 на произведение (а + b) (а2 + b2) (а4 + b4)... (а64 + b64). 3847. Показать, что при действительных р, q и r уравнение х8 + р2х6 + q2х4 + r2х2 = 0 отличных от нуля действительных корней не имеет. 3848. Многочлен х4 + 4 представить в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами. 3849. Найти произведение ху, если х + у = а и х4 + у4 = b4. 3850. Многочлен х2 + у2 представить в виде произведения двух многочленов четвертой степени относительно х и у с действительными коэффициентами. 3851. Разложить на множители a4 + 4b4 3852. Найти такие натуральные значения k, при которых многочлен (8х2 — 7х — 16)k + (9х2 — 8х — 16)k делится без остатка на двучлен x + 1. 3853. Найти все натуральные числа п, для которых многочлен (х3 — 5х + 1)n+ (х3 — 3х — 1)n при делении на двучлен х — 2 дает остаток, равный 2. 3854. Остаток отделения некоторого многочлена на х2+ х — 2 равен х + 1. Определить остаток от деления того же многочлена на х + 2. 3855. Для каких значений х равенство
оказывается верным? 3856. Доказать, что многочлен х4 —2х3 + 2х2 —8х+16 принимает положительные значения при всех действительных значениях х. 3857. В разложении 3858. Разложить на множители х — 3√xy +2y. 3859. Если в выражении (2 — 3x)322 + (3 — 2x)321 раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится некоторый многочлен. Как проще всего вычислить сумму всех его коэффициентов? 3860. Найти сумму коэффициентов разложения (5х — 4у)100. 3861. Доказать, что если у каждого из двух данных многочленов сумма коэффициентов равна 1, то и у многочлена, являющегося произведением двух данных многочленов, сумма коэффициентов равна 1. 3862. Нетрудно заметить, что равенство
имеет относительно х степень не выше, чем вторую. Тем не менее оно имеет более двух корней — можно проверить, что числа x1 = а, x2 = b и x3 = с ему удовлетворяют. Чем это объяснить? 3863. Доказать, что если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то свободный член уравнения делится на этот целый корень. 3864. Как Вы будете решать уравнение х4 — 4х3 — 10х2 + 37х — 14 = 0, если заранее известно, что многочлен в левой части данного уравнения разлагается на множители второй степени с целыми коэффициентами? 3865. Дано произведение
В типографии как-то так случилось, что обе дроби выпали из набора и получилось произведение (х4 + х3 + х2 + х +1)(х4 — х3 + х2 — х +1). Наборщик утверждает, что несмотря на потерю дробей, получившееся выражение тождественно данному. Прав ли наборщик? 3866. При каких значениях а график функции у = (а + 5) х2 +х + а — 3 пересекает ось абсцисс по разные стороны от оси ординат? 3867. Указать область определения функции y = log2(х2—2x + 3). Имеет ли график этой функции какую-либо ось симметрии? Если да, то какую? 3868. Указать область определения функции
Показать, что график этой функции расположен симметрично относительно прямой х = 5. 3869. Показать, что функция 3870. Указать, какие из следующих функций являются четными, нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:
3871. Найти значения функции f(n) = arcsin (sin n) при n=1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. 3872. Можно ли утверждать, что сумма двух периодических функций есть функция периодическая? 3873. Доказать, что произведение четного числа нечетных функций, есть функция четная. 3874. Величина у есть целая часть («характеристика») логарифма х по основанию 2. Построить график у как функции х при изменении х от 0,5 до 8,0. 3875. Доказать, что если р и q — простые числа, больше 3, то р2 — q2 а делится на 24. 3876. Доказать, что если кубы двух действительных чисел равны, то равны и сами числа. 3877. Верно ли, что три произвольных рациональных числа a, b и с всегда могут рассматриваться как члены некоторой арифметической прогрессии? 3878. Дано: п < т, где п и т — натуральные числа. В какой последовательности располагаются точки, изображающие числа 1, n/m, m/n, на числовой прямой? Какая из двух последних точек ближе лежит к точке, изображающей число 1? 3879. Почему при делении чисел, равных квадрату целого числа, на 3 в остатке никогда не получается 2? 3880. Доказать, что при любом натуральном п выражение 3881. Доказать, что если каждое из двух данных чисел является суммой квадратов двух чисел, то и произведение данных чисел может быть представлено в виде суммы квадратов двух чисел. 3882. Доказать, что если п — простое число, большее 3, то 3883. Доказать, что п7 — п делится на 42, если п — любое целое число.
3886. Показать, что всякое нечетное число можно представить в виде разности квадратов двух целых чисел. 3887. Доказать методом полной математической индукции неравенство (1 + а)n> 1 + па (п — натуральное число, причем п > 2, a > —1). 3888. Доказать, что |α1 + α2| < |α1| + |α2| На основании этого методом полной математической индукции доказать, что |α1 + α2 + ...+ αn| < |α1| + |α2| +...+ |αn| Предполагается, что α1 , α2 , ..., αn— действительные числа.
3891. Исключить t из равенств х = 10cos t y = 10sin t
3893. Чему равна сумма углов α и β, если tg α и tg β являются корнями уравнения 6x2 — 5x + 1 = 0? 3894. Для углов α и β, таких, что 0 < α + β < π/2 оказалось, что ctg α и ctg β являются корнями уравнения x2 + px + q = 0 (предполагается, что оба корня этого уравнения положительны). Найти α + β . 3895. Выразить tg3α через tgα. 3896. Пусть sin 10° = а. Найти sin 20° двумя способами: по формуле синуса двойного угла и формуле синуса разности углов 30° и 10°. Почему получились «разные» ответы? 3897. При помощи формулы, связывающей sin 3α и sin α , доказать, что 0,1 < sin 10° < 0,2. 3898. Дано, что sinn x + cosn x = 1. Доказать, что n = 2. 3899. Функцию у = sinkx + coskx, 0 < x < π/2 сравнить с единицей для различных k. 3900. Показать, что sin 495° — sin 795° + sin 1095° = 0. 3901. Выразить sin 6° через sin 12°. 3902. Существует ли угол, для которого косинус был бы равен
3903. Существует ли такой угол, для которого числа 2 + √3 и 2 — √3 являются соответственно его тангенсом и котангенсом? 3904. Определить период функций a) y = cos x + sin x/3; б) y = sin x + cos x/3 + sin x/5 3905. Определить период функции y = 15 sin212х + 12 sin215х. 3906. Построить острый угол, тангенс которого в два раза больше его синуса. 3907. Найти sin α, если tgα = 2 и π < α < 3π/2. 3908. Доказать, что 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 1. 3909. При каких значениях α и β возможно равенство sin α + sin β = sin (α + β)? 3910. Найти наибольшее значение функции
3911. Чему равно наибольшее значение функции у = sin (sin x)? 3912. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 3 sin2 x + 2 cos2 x. 3913. Что больше tg 1 или arctg 1? 3914. Чему равна дробь 3915. Вычислить sin (α + β) • sin (α — β) , если sin α=— 1/3, cos β = — 1/2. 3916. Определить знак произведения sin2• sin 3• sin5. 3917. Что больше: π/4 или arctg 1/4 + arctg 5/8? 3918. Что больше: π/4 или arcsin 2/3 + arccos 2/3 ? 3919. Найти такие два числа т и М, чтобы неравенство т < sin α cos α cos 2α < M было верным при любых α и чтобы разность между М и т была наименьшей. 3920. Показать, что знаки sin α и tg π/2 совпадают при любом значении α =/= kπ (k — целое). 3921. Найти такие значения а и b, при которых функция
тождественно (для всех значений x) равна двум. 3922. Возможно ли равенство sin α + cos α = 3√3 ? 3923. Знак \/ заменить одним из знаков < , >, < , > так, чтобы следующие соотношения были бы верными: а) lg sin α \/ 0 б) sin α + cos α \/ 1,5 в) 3√sin α + 3√cos α \/ 1 г) tg α + ctg α \/ l,9 (α — острый угол). 3924. Доказать, что если в треугольнике существует зависимость 3925. Доказать, что если отношение косинусов двух углов треугольника равно отношению синусов тех же углов, то треугольник равнобедренный. 3926. Доказать, что для любого треугольника справедливо равенство a (sin В — sin С) + b (sin С — sin A) + с (sin А — sin В) = 0? 3927. Доказать, что если в треугольнике 3928. Пусть А, В, С — углы треугольника, причем С — тупой угол. Доказать, что tg A • tg B<1 3929. Доказать, что во всяком треугольнике сумма попарных произведений котангенсов всех углов равна единице. 3930. Доказать, что для всякого треугольника со сторонами a, b и с и с углами А, В, С, его площадь S можно определить по формуле
|
— действительным или мнимым?
представить в виде суммы степеней числа 2.
найти член, не содержащий х.
совпадает с функцией, обратной по отношению к ней.
натуральное число.
целое число.
, если ctg α/2 = m?
тo он равнобедренный.
то треугольник равнобедренный.