ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Предварительные замечания
При решении задач настоящей главы (начиная с задачи 72) необходимо учесть следующее.
1. Напомним, что корень n√a называется арифметическим, если число а, из которого он извлекается, положительно (или равно нулю) и если, кроме того, сам корень берется положительным.
Примеры. Выражение √— 27 не может представлять арифметического корня, так как подкоренное число отрицательно. Выражение 4√16 представляет арифметический корень, если рассматривать только положительное значение этого корня (т. е. 2). Выражение 3√27 представляет арифметический корень (т. е. 3), если рассматривать только действительное его значение (оно имеет еще два мнимых значения: ) .
Выражение √— 16 не может представлять арифметического корня, так как под корнем отрицательное число.
2. Излагаемые в алгебре правила преобразования радикалов безоговорочно верны только для арифметических корней.
Например, равенство не верно при отрицательных значениях х.
Так, при х = —8 левая часть равенства имеет только одно действительное значение 3√—8= — 2, а правая часть — два действительных значения 6√64 = ± 2 (если рассматривать и мнимые значения корней, то 3√—8 имеет три значения, a 6√64 —шесть).
Ввиду этого в настоящем разделе, где выполняются тождественные преобразования иррациональных выражений, мы принимаем, что все подкоренные выражения могут иметь только положительные (и нулевые) значения. Тем самым на буквенные величины, входящие в упрощаемые выражения, накладываются некоторые добавочные условия. В ряде случаев (см., например, замечания к задачам 75—81) мы указываем эти условия.
Иногда условия, которым должны удовлетворять буквенные величины, указываются в тексте задачи. Тогда при решении надо доказать, что при этих условиях все подкоренные выражения положительны.
3. Особо следует заметить, что равенство √x2 = х (где √x2 есть арифметический корень) верно только при х > 0.
При отрицательном же значении х оно не верно; вместо него имеет место равенство √x2 = — х.Оба случая можно объединить равенством √x2 = |х|. Так, если х = —3, то √(—3)2 = √9 = —(—3) (при этом √(—3)2 является арифметическим корнем, так как подкоренное число (—3)2 положительно и значение корня взято положительным). Можно также написать √(—3)2 = | 3 |. Это замечание необходимо сделать потому, что его нет в большинстве учебников (в том числе и в «Алгебре» А. П. Киселева во всех многочисленных ее изданиях). Важность замечания видна из следующих примеров.
Пример 1. Упростить выражение
Решение правильно только при т>п. При т<п вместо него нужно написать
т. е.
Так, если m =2 и n =3, то т — n = — 1, тогда как
Общая формула имеет вид
Пример 2. Упростить выражение
Обозначив для краткости данное выражение через А, имеем (при p =/= —2):
Если дробь положительна, то
если же она отрицательна, то
Исследуем, при каких значениях р имеет место тот и другой случаи. Дробь положительна, когда 2 — р и 2 + р имеют одинаковыe знаки. Потребуем сначала, чтобы величины 2 — р и 2 + р были обе положительны. Величина 2— р положительна, когда р < 2; величина 2 + р положительна, когда р > —2. Следовательно, обе величины 2 — р и 2 + р положительны при —2< р <2. Потребовав же, чтобы величины 2 — р и 2 + р были обе отрицательны, мы найдем, что это требование невыполнимо, так как 2 — р отрицательна при р >2, а 2 + р отрицательна при р <—2, а эти условия не совместны.
Значит, дробь положительна только при —2 < р < 2. При значениях р>2, а также при значениях р <—2 дробь отрицательна.
Таким образом, A = p/2 при |р|<2 и А = 2/p при |р|>2. При |р|=2 годятся оба выражения.
Пример 3. Равенство √a6 = а3 верно только при а > 0. При отрицательных значениях а вместо него имеет место равенствo √a6 = — а3
Так, при а = — 1 имеем √(—1)6 = — (—1) = +1. Здесь√(—1)6 есть арифметический корень, так как подкоренное число (—1)6=1 положительно, и значение корня взято положительным.
Пример 4. Вынести множители за знак радикала в выражении .
Данный корень может быть арифметическим только при а >3, так как при а<3 множитель (а—3)3, а вместе с ним и все подкоренное выражение отрицательны. Равенство
верно только при а >5. При а<5 вместо него нужно написать
Общая формула будет
4. Вообще равенство n√x n = x (где левая часть обозначает арифметический корень) верно только для положительных значений х (и при х = 0). Если п —четное число, то при отрицательном значении х вместо n√x n = x имеем равенство n√x n = — x Если же п - нечетное число, то при отрицательном значении х вовсе нет арифметического корня.
|