ГЛАВА   2

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ   ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Ответы и решения

56.  Группируя  последние три  члена  выражения  в скобках,  разложим его на множители:

Заданное выражение примет вид

Ответ    

____________________________________________________________________

57.  Выражение в скобках равно   В числителе и знаменателе последней дроби удобно переменить все   знаки   на   противоположные,   после   чего   числитель   разложим    на    множители;   дробь примет вид

Ответ      

__________________________________________________________________

58.  Знаменатель второй дроби равен   (1+x) (х—2а).  Выражение в скобках равно 1+х. Заданное выражение равно

Ответ  ¹/_a

_{___________________________________________________________________}

59. Ответ   

__________________________________________________________

60. Представим  второе   слагаемое   в   виде     Приведем  дроби в скобках к общему знаменателю; получим  

приравняв    нулю  трехчлен   2а²+9а+10   и    найдя   корни   а ₁= —2; а₂= — ⁵/₂      разложим его на множители

Теперь выражение в скобках примет вид

Умножим его на

Ответ

_________________________________________________________________

61. Сокращаем каждую дробь, разложив числитель  и   знаменатель на множители.

Ответ

___________________________________________________________________

62. Разложим на множители знаменатель второй   дроби,   и   эту дробь сократим. Данное выражение примет вид

Ответ

___________________________________________________________

63. Знаменатели дробей после упрощения принимают вид

данное выражение преобразуется так:

Ответ

__________________________________________________________

64. Разложим знаменатели первых четырех дробей на множители и сократим первую дробь на  а—1.  Выражение в скобках примет вид

Это нужно помножить на дробь Числитель

последней дроби    разложим  на  множители    группировкой    членов, знаменатель — как сумму кубов а³+3³; тогда эта дробь  примет  вид

Ответ

___________________________________________________

65. Сумму дробей, составляющих делимое, обозначим через А, делитель — через В. Разложив на множители многочлены, входящие в А, найдем

В полученном выражении вынесем за скобку имеем

Далее находим

Разделив А на В, получим

Ответ

___________________________________________________

66. Делимое обозначим через А; делитель — через В. Приравняв нулю трехчлен
х²— ху— 2у², входяший в выражение А, решаем полученное уравнение относительно одного из неизвестных, например неизвестного х; найдя x₁= — у и x₂=2у, получим разложение трехчлена на множители х²— ху— 2у²= (х+у) (х—2у). Теперь имеем

В вычитаемом напишем 2у—х вместо х—2у, одновременно изменив знаки в числителе- этой дроби; затем дроби приведем к общему знаменателю, получим

В выражении В разлагаем на множители числитель [представив его в виде (2х²+y)²— 2²] и знаменатель (группируя х²+xу и у+х). Тогда

Разделив А на В, получим

Ответ

_______________________________________________

67. Разложив на множители многочлены, входящие в   заданное выражение, получим

Ответ

___________________________________________________________

68. Делимое обозначим через А, делитель — через В.  Числитель дроби А есть

а знаменатель

В дроби В числитель оставим без   изменения, а знаменатель    представим в виде
—ас (п — а — 1).

Ответ

69.  Первый   способ.   Приведем все   дроби к общему    знаменателю:

Выполнив умножение двучленов, входящих в знаменатель,   получим
a²b — ab² + b²с — а²с + ас² — bc², т. е. то же    выражение,    что    и    в

числителе. После сокращения получаем  .

Второй способ. Полагая в числителе дроби (а) а = b, убедимся в том, что числитель обращается при этом в нуль. Следовательно, по теореме Безу он делится на (а — b). Выполнив деление, найдем частное

а(b—с)—с(b — c) = (b—с)(а—с).

Таким образом, числитель равен (а—b) (b—с) (а—с).

Третий способ.  Приведем к общему знаменателю только первые две дроби заданного выражения. Получим

Группируя члены числителя (первый с третьим   и  второй  с  четвертым), мы придем к выражению

(b + a) (b—a)—c(b—a)= (a—b) (c—a—b).

Теперь сокращаем дробь на  (a—b) и    прибавляем    третью    дробь заданного выражения.

Ответ

________________________________________________  '

70.  Первый множитель равенВыражение в квадратных скобках равно

. Перемножая заданные выражения, находим    . При подстановке числитель принимает вид, а знаменатель становится равным

Ответ

_________________________________________

71.  Обозначим выражение в квадратных   скобках   через   А,   выражение в круглых скобках — через В. Имеем   А : В^—1=АВ.   Выражение А освободим от степеней    с    отрицательными    показателями. Получим

Преобразовав В, получим

Наконец,   находим   АВ = а^n —1b   (в   одной   из   перемножаемых   дробей переменим знаки членов в числителе и знаменателе).

Ответ а^n —1b