Сборник задач по алгебре.

ГЛАВА 2

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Ответы и решения

101.

Раскрывая скобки и приведя подобные члены, представим делимое в виде

делитель представим а виде

Частное есть при данных значениях а=54 и b=6 оно равно 1.

Ответ ; 1

__________________________________________________

102.

Умножая числитель и знаменатель данной дроби на

получим в числителе

в знаменателе получим

Ответ

__________________________________________________

103.

В вычитаемом первый сомножитель приводится к виду, 1—а², тогда имеем

После сокращения дроби на (1—а²) получим

Ответ

__________________________________________________

104.

Данное выражение равно

Ответ

__________________________________________________

105.

Числитель третьего члена приводится к виду Знаменатель равен R². Данное выражение принимает вид

Ответ

__________________________________________________

106.

Первое и второе слагаемые приведем соответственно к виду

Приведя эти слагаемые к общему знаменателю, получим

Числитель этого выражения равен

Ответ ¹/_pq

__________________________________________________

107.

Вводим дробные степени. В выражении выносим за скобку , в выражении выносим за скобку . Тогда числитель первой дроби будет

так что первая дробь преобразуется к виду . Выражение в квадратных скобках принимает вид

Ответ

__________________________________________________

108.

Двучлен а — √ax представим в виде √a (√a — √x ). Числитель дроби будет

(√a +1)² — √a = a +√a + 1

Знаменатель равен 3( a +√a + 1).

Ответ 27

__________________________________________________

109.

Освободимся от степеней с отрицательными показателями; первое слагаемое (после сокращения на 2а—3) примет вид второе (после сокращения на а—1) даст

Ответ 9a

__________________________________________________

110.

В первом сомножителе вынесем чя скобку a—b. Величина не может быть отрицательной (иначе корни не арифметические). Данное выражение примет вид

Ответ 2b( a—b )

__________________________________________________

111.

Делимое и делитель представим соответственно в виде

Частное можно сократить на (√a + √b)( ⁴√a— ⁴√b )если учесчь, что

Ответ

__________________________________________________

112.

Данное выражение представим в виде

Числитель делимого разложим на множители, как сумму кубов. После сокращения будем иметь в квадратных скобках

(√a + √b)(√a — √b) = a—b

Ответ

__________________________________________________

113.

Дробь сокращаем на ³√х . Выражение в квадратных скобках преобразуется к виду. Эту дробь сокращаем на √х +2. Заданное выражение равно

Предполагается, что х > 0 (при отрицательном х корень ³√х не будет арифметическим, при х = 0 данное выражение теряет смысл). Поэтому х + 4 > 0;

Ответ —4 √х

__________________________________________________

114.

Дробь в квадратных скобках равна

Заданное выражение равно

Ответ 32х

__________________________________________________

115.

В числителе первой дроби выносим за скобку ⁴√aх . Учитывая, что , сокращаем дробь. Первый , множитель принимает вид

Второй сомножитель есть . Так как есть арифметический корень, то выражение всегда положительно.

Ответ √a( √х +√a )

__________________________________________________

116.

Величины а и с должны быть положительными. Поэтому знаменатель первой дроби, который приводится к виду.

равен √2 (а + b²). Числитель этой дроби равен √3 (а + b²).

Вторая дробь равна

Ответ —√ас

__________________________________________________

117.

Уменьшаемое равно

Подкоренное выражение вычитаемого равно (а² + х²)² (величина а² + х² положительна).

Ответ —1

__________________________________________________

118.

Выражение в квадратных скобках равно ; возведя в степень —2, получим . Делитель после сокращения на √х +√a равен

Ответ

__________________________________________________

119.

В числителе дроби выносим за скобку ⁶√х : сокращаем дробь; заданное выражение принимает вид

Ответ 5( √х + 1)²

__________________________________________________

120.

В первой дроби переведем в знаменатель (с положительным показателем; дробь окажется равной Вторую дробь сокращаем на .Заданное выражение принимает вид

Ответ

__________________________________________________

121.

Первый сомножитель равен ¹/_аВозведя в квадрат выражение в квадратных скобках, получим 2а²—2аb.

Ответ 2 (а—b).

__________________________________________________

122.

Разность возводим в куб; числитель дроби равен

знаменатель дроби равен

Сократив дробь, получим . Заданное выражение равно

Ответ 1

__________________________________________________

123.

Числитель первой дроби равен

Ответ ¹/_2b

__________________________________________________

124.

Знаменатель первой дроби в круглых скобках

Знаменатель второй дроби равенАналогично разлагаем на множители числители.

Ответ

__________________________________________________

125.

Дробь в скобках сокращаем на √a + √b. Первая из дробей, в сумме составляющих данное выражение, равна

Вторая дробь равна

Ответ 0

__________________________________________________

126.

Ответ 3

__________________________________________________

127.

Освобождаемся от отрицательных показателей. Выражение

разлагаем на множители.

Ответ 1

__________________________________________________

128.

Преобразовав первое слагаемое в квадратных скобках, получим

Числитель этой дроби равен

Сумму и разность кубов разлагаем на множители.

Ответ а

__________________________________________________

129.

В числителе дроби выносим за скобку ³√a . Множимое равно ³√a — ³√х , а множитель

Ответ 4( а — х )

__________________________________________________

130.

Дробь представим в виде

Выражение в первых скобках (делимое) равно

Делитель равен √a (√a + ³√b)

Ответ a

__________________________________________________

131.

Знаменатель уменьшаемого равен √a ⁴√x (√a + ⁴√x ),
а числитель √a ⁴√x [(√a )³ + (⁴√x ) ³ ]

После сокращения приведем уменьшаемое к виду а — √a ⁴√x + √x . Вычитаемое равно

Вместо последнего выражения можно написать а + √x , так как а + √x есть положительная величина (величина а не может быть отрицательной, ибо в данное выражение входит √a ).

Ответ a²x

__________________________________________________

132.

Сомножители знаменателя равны l + ⁴√x и 1 — ⁴√x , Числитель можно представить в виде — х (1 — √x ).

Ответ —x³.

__________________________________________________

133.

Числитель дроби в квадратных скобках равен

Заданное выражение равно

Ответ 0

__________________________________________________

134.

Числитель уменьшаемого равен

Ответ ⁶√а

__________________________________________________

135.

Сначала складываем первые две дроби; общий знаменатель равен

Получим Теперь вычитаем третью дробь; общий знаменатель

Ответ

__________________________________________________

136.

Аналогичное преобразование выполняем в знаменателе. Подкоренное буквенное выражение в числителе равно (√x —2)³ . Дробь сокращается на √x — 1.

Ответ 1

__________________________________________________

137.

Числитель первой дроби равен

Знаменатель преобразуется к виду (b + a)(b—2a)⁶√a³b³. Таким образом, первая дробь равна . Делимое в круглых скобках равно Разделив его на получаем Вычитая из этого, найдем