|
20. Зная хорды двух дуг круга радиуса R, найти хорду дуги, равной сумме этих дуг или их разности. Решение
21. Расстояние между центрами двух пересекающихся кругов радиусов R и r равно d. Найти площадь их общей части. Решение
22. Три окружности радиусов r , r1 и R касаются попарно внешним образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от общей внутренней касательной первых двух окружностей. Решение
23. Две окружности радиусов R и r (R > r) имеют внутреннее касание. Найти радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра. Решение
24. Круга радиуса r касаются внешним образом три одинаковых окружности, касающиеся, кроме того, попарно между собой. Найти площади трех криволинейных треугольников, образованных указанными окружностями. Решение
25. На отрезке длины 2а + 2b и его частях длины 2а и 2b как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от отрезка. Найти радиус окружности, касающейся трех построенных полуокружностей. Решение
26. Даны две параллельные прямые и точка А между ними. Найти стороны прямоугольного треугольника, вершина прямого угла которого лежит в точке А, а вершины острых углов — на заданных параллельных прямых, зная, что площадь треугольника равна заданной величине k2. Решение
27. Внутрь правильного n-угольника со стороной а вписано п равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух других кругов, Найти площадь «звездочки», образующейся в центре многоугольника. Решение
28. Через одну из точек С дуги АВ окружности проведены две произвольные прямые, пересекающие хорду АВ в точках D и Е, а окружность в точках F и G. При каком положении точки С на АВ вокруг четырехугольника DEGF можно описать круг? Решение
29. Внутрь острого угла вписываются круги, касающиеся друг друга. Показать, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Найти зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла. Решение
30. В точке А плоскости Р расположен источник света. Над плоскостью помещено полусферическое зеркало радиуса 1, обращенное внутренней зеркальной поверхностью к плоскости, причем так, что ось симметрии зеркала перпендикулярна к плоскости Р в точке А. Зная, что наименьший угол между лучами, отраженными зеркалом и плоскостью Р, равен 15°, определить расстояние от зеркала до плоскости и радиус освещенного на плоскости Р круга. Решение
31. Центры четырех кругов радиуса r расположены в вершинах квадрата со стороной а. Найти площадь S общей части всех четырех кругов, заключенной внутри квадрата. Решение
32. Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, примыкающих к основаниям, равны S1 и S2. Решение
33. Выразить диагонали вписанного четырехугольника через его стороны. Получить отсюда теорему Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон. Решение
|