|
48. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны. Решение
49. Доказать, что в любом треугольнике ABC расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины А. Решение
50. Доказать, что сумма расстояний какой-либо точки, взятой внутри правильного треугольника, до сторон этого треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки. Решение
51. Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса. Решение
52. Доказать, что если Р, Q, R суть, соответственно, точки пересечения сторон ВС, СА, АВ (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то
PB QC RA = 1
PC QA RB
Решение
53. В прямоугольном треугольнике ABC катет АС в 3 раза больше катета АВ. Точками К и F катет АС разделен на три равные части. Доказать, что
/ АKB +/ .AFB + / АСВ = π/2. Решение
54. Пусть a, b — катеты прямоугольного треугольника, с — гипотенуза, h —высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказать, что треугольник со сторонами h, c + h, a + b является прямоугольным. Решение
55. В равнобедренном треугольнике с основанием а и боковой стороной b угол при вершине равен 20°. Доказать, что а3 + b3 = 3аb2. Решение
56. Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы. Решение
57. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 20°. На боковых сторонах АВ и ВС взяты, соответственно, точки Q и Р так, что / ACQ = 60°, a / САР =50°. Доказать, что / APQ = 80°. Решение
58. Доказать, что если между сторонами a, b, с треугольника существует зависимость a2 = b2+ bc , то углы А и В, противолежащие сторонам а и b, удовлетворяют равенству / А = 2 / В. Решение
59. Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А1, а вершина В — в В1. Доказать, что в треугольнике ОАВ1 медиана стороны АВ1 является высотой для /\ ОА1В (аналогично медиана стороны А1В в /\ ОА1В является высотой для /\ OAB1). Решение
60. Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершины равна полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника. Решение
61. Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга. Решение
|