ГЛАВА   7

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

 

210.  Дан усеченный конус, боковая поверхность которого равна площади круга,   имеющего   своим   радиусом образующую усеченного конуса. Доказать, что в данный конус можно вписать шар.  Решение

211.  Дан усеченный конус, у которого высота есть среднее пропорциональное между диаметрами   оснований.   Доказать, что в конус можно вписать шар.  Решение

212.  Доказать, что   при   соединении   трех   вершин   правильного   тетраэдра   с   серединой   высоты,    опущенной    из четвертой вершины, получаются три попарно перпендикулярные прямые.  Решение

213.  Пусть R — радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, r — радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Доказать, что

R/r   >  √2 + 1

Указание. Выразить R/r через  tg α/2 ,    где    α — двугранный угол между основанием и боковой гранью.  Решение

214.  Из точки О, лежащей в основании   ABC треугольной пирамиды   SABC,   проведены   прямые   ОА',  ОВ' и ОС', соответственно параллельные ребрам SA, SB, SC, до пересечения их соответственно с гранями SBC, SCA, SAB в точках А', В', С'.

Доказать, что

OA'/SA + OB'/SB + OC'/SC = 1   Решение

215.   Рассматриваются два треугольника ABC и А1В1С1, которые   лежат в непараллельных   плоскостях   и  имеют попарно непараллельные   стороны. При этом прямые, соединяющие    соответственные   вершины,   пересекаются   в   одной точке О. Доказать, что продолжения   соответственных сторон треугольников попарно пересекаются и точки их пересечения лежат на одной прямой. Решение

216.  Показать, что отрезки, соединяющие   вершины некоторой треугольной пирамиды с центрами тяжести противолежащих граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 1:3.  Решение

217.  Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней.  Решение

218.  Одна из двух треугольных пирамид с общим основанием   расположена   внутри   другой.   Доказать,   что   сумма плоских углов при вершине   внутренней  пирамиды  больше, чем сумма плоских углов при вершине внешней.  Решение

219.  Четыре   шара,   центры  которых  не лежат в одной плоскости,   касаются   попарно   друг  друга.   Каждые два из них определяют   плоскость,   перпендикулярную   к   их линии центров и касающуюся обоих шаров.   Доказать, что возникающие   таким   образом   шесть   плоскостей   имеют   общую точку.  Решение

220.  Доказать, что если в треугольной пирамиде сумма длин   любой   пары   противоположных   ребер   одна   и та же, то вершины этой пирамиды являются центрами четырех шаров, попарно касающихся друг друга.  Решение

221.  Какому   условию   должны   удовлетворять   радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, для того, чтобы к этим   шарам   можно   было   провести   общую   касательную плоскость?  Решение

Используются технологии uCoz