|
ГЛАВА 2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Ответы и решения
72. Произвeдя упрощения, получим sin 5х — sin3x = 0. Применив формулу разности синусов, имеем 2sin х cos 4x = 0, и уравнение распадается на два: sin х = 0 и cos 4x = 0.
Из первого имеем х = πn (n— любое целое число), из второго
4х = 2πn ± π/2 = π/2 (4n ± 1), т.е.
х = π/8 (4n ± 1).
Выражение 4n ± 1 содержит в себе все нечетные числа (числа — 3, 1, 5, 9, 13 и т. д. получаются из выражения 4n + 1; числа —1, 3, 7, 11, 15 и т. д.— из выражения 4n—1). Поэтому вместо 4n±1 можно написать 2n+1 (или 2n—1), где n — любое целое число.
Отв. х = πn ; х = π/8 (2n+ 1), где n—любое целое число.
________________________________________________
73. Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:
sin х+sin 2х +sin 3х +sin 4х = (sin х + sin 3х) + (sin 2х + sin 4х) =
=2 sin 2х cos х + 2 sin 3х cos х =2 cos х (sin 2х + sin 3х) = 4 sin 5x/2 cos x/2 cos х.
Уравнение принимает вид
sin 5x/2 cos x/2 cos х = 0
и распадается на три уравнения:
sin 5x/2 = 0; cos x/2= 0; cos х = 0
Отв. x = 72°n; x =180° (2n + l ); x = 90° ( 2n + l ).
________________________________________________
74. Выполним преобразования
cos (x + 60°) = cos [90°— (30°—x) ] = sin (30°— x)
и
1+cos 2x = 2 cos2 x.
Уравнение примет вид
sin (x + 30°) + sin (30°—x ) = 2 cos2 x.
Применим формулу суммы синусов; получим
sin 30° cos х — cos2 x = 0 или cos x ( 1/2 — cos x ) = 0.
Отв. x = 90° (2n + 1 ); x = 60° (6n ± 1).
________________________________________________
75. Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем следующим образом:
(sin x + sin 3x ) — (cos x + cos 3x ) + (sin 2x — cos 2x ) = 0.
Преобразуя выражения в первых двух группах, получим
2 sin 2x cos x — 2 cos 2x cos x + (sin 2x — cos 2x) = 0
или
(2 cos x + l ) (sin 2x—cos 2x) = 0.
Это уравнение распадается на два:
2 cos x + l = 0 и sin 2x—cos 2x = 0.
Первое дает: cos х = — 1/2; х = 2πn ± 2/3 п. Разделив второе уравнение почленно на cos 2x, получим tg 2x = l , откуда 2x = πn + π/4
Отв. x = 2π/3 (3n ± 1); x = π/8 (4n + 1).
________________________________________________
76. Произведем следующую группировку!
(cos 2x + cos 6x) — (1+ cos 8x) = 0.
Применив формулу 2cos2 α/2 = l + cos α и преобразов сумму косинусов, получим
2 cos 4x cos 2x — 2 cos2 4x = 0.
Вынесем 2 cos 4x за скобки и преобразуем разность косинусов cos 2x—cos 4x . Получим уравнение
cos 4x sin 3x sin x = 0.
Оно распадается на три:
1) cos 4x = 0; 2) sin 3x = 0; 3) sin x = 0.
Но третье уравнение можно не рассматривать: все его решения сoдержатся в числе решений уравнения sin 3x = 0. Действительно, еcли sin x = 0, то и sin 3x =3 sin x—4 sin3x = 0.
Отв. x = π/8 (2n + 1); х = πn/3.
________________________________________________
77. В правой части напишем 2 sin 3x/2 cos 3x/2 вместо sin 3x,
Уравнение примет вид
2 sin 3x/2 sin x/2 = 2 sin 3x/2 cos 3x/2
или
sin 3x/2 ( sin x/2 — cos 3x/2) = 0.
Выражение в скобках запишем в виде
cos (π/2 — x/2) — cos 3x/2 = 2 sin ( π/4 + x/2) sin (х — π/4)
Следовательно, данное уравнение распадается на три:
1) sin 3x/2 = 0; 2) sin ( π/4 + x/2) = 0; 3) sin (х — π/4 ) = 0.
Отв. х = 2πn/3; х = π/2(4n — 1); x = π/4(4n + 1).
________________________________________________
78. Правая часть равна
sin [90° — (х +30°)] = sin (60°— х) = — sin (х — 60°).
Уравнение принимает вид
sin (x — 60°) = — sin (x — 60°) или sin (x — 60°) = 0,
откуда x — 60° =180° п.
Отв. х = 60° (3п+1).
________________________________________________
79. Заменив 2 sin2 x на 1— cos2x, приведем уравнение к виду
2 sin 3х cos 2x — cos 2x = 0.
Это уравнение распадается на два:
1) cos2x = 0; 2) sin3x = 1/2
Так как 1/2 есть sin 30°, то второе уравнение дает
3х = 180°n + (— 1)n 30°
Отв. х = 45° (2n +1); х = 60°n + (—1)n10°.
________________________________________________
80. Правую часть напишем так:
3(sin x cos x —sin2 x + 1) = 3 (sin x cos x + cos2 x) =3 cos2 x (tg х +1).
Данное уравнение распадается на два:
1) tg x + 1= 0; 2) sin2 x — 3cos2 x = 0.
Из второго получим tg х = ± √3 .
Отв. х = π/4 (4n — 1); х = π/3 (3n ± 1).
________________________________________________
81. Имеем уравнение
cos 4x + 2 cos2 x = 0.
Так как 2 cos2 x = l + cos2x, то левая часть равна
(1 + cos 4x) + cos 2x =2 cos2 2x + cos 2x,
Получаем уравнение
cos 2х (2 cos 2х + 1) = 0,
распадающееся на два:
1) cos 2х = 0 и 2) 2cos 2х + l = 0.
Втроое дает 2х =360° n ±120°.
Отв. х = 180° n ± 45°; х = 180° n ± 60°.
________________________________________________
82. Помножим обе части уравнения на sin x и, заменив в правой части единицу на sin2 x + cos2 x, получим уравнение sin х cos x = cos2 x.
Замечание. Умножая обе части уравнения на sin x, мы не получаем посторонних решений, так как sin x ни при одном из найденных значений х не обращается в нуль.
Отв. x1 = π/2 (2n + 1); x 2= π/4 (4n + 1).
________________________________________________
83. Запишем уравнение так:
sin 3х — sin (π/2 — 2x) = 0.
Оно распадается на два:
1) cos (x/2 + π/4) = 0 и 2) sin (5x/2 — π/4) = 0
.Первое дает x/2 + π/4 = π/2 (2n + 1), откуда x = π/2 (4n + 1)
Второе дает x = π/10 (4n + 1) .
Отв. x = π/2 (4n + 1) ; x = π/10 (4n + 1).
________________________________________________
84. Прибавим к обеим частям уравнения по 2 sin2 x/3 cos2 x/3, после чего в левой части получим
sin4 x/3 + 2 sin2 x/3 cos2 x/3 + cos4 x/3 = (sin2 x/3 + cos2 x/3)2 = 1,
и уравнение примет вид
1 = 5/8+ 2 sin2 x/3 cos2 x/3 или 2 sin2 x/3 cos2 x/3 = 3/8,
Умножим обе части уравнения на 2 и применим формулу для синуса двойного угла. Получим sin2 2x/3 = 3/4, откуда sin 2x/3 = ± √3/2 .
Отв. х = π/2 (3n ± 1).
________________________________________________
85. Представим уравнение в виде 3tg2 x — (1 + tg2 x) =1, откуда tg x = ± l.
Отв. х = 45° (2n+1).
________________________________________________
86. Заменим l + cos4x на 2 cos2 2x,
Отв. х = πn/2 + π/4; х = πn/4 + (—l )n π/24.
________________________________________________
87. Прибавив к обеим частям уравнения по 2 sin2 x cos2 x , получим
(sin2 x + cos2 x)2 = cos 4x + 2 sin2 x cos2 x
или 1 — cos 4x = 1/2 sin2 2x.
Отв. х = π/2 n.
________________________________________________
88. Заменим sin 2x на 2 sin x cos x и разделим все члены уравнения на cos2 x. Заранее видно, что потери корней не будет.
Действительно, если cos x = 0, то sin x = ± l, а эти величины не удовлетворяют данному уравнению. Получим
3 — tg2 x — 2 tg x = 0.
Отсюда находим
tg x = l и tg x = — 3,
Отв. х = πn + π/4; х = πn — arc tg 3 .
________________________________________________
89. Напишем sin2 x + cos2 x вместо единицы и, разделив обе части на cos2 x (см. решение предыдущей задачи), получим
tg2 x + √3 tg х = 0.
откуда
tg х = 0 и tg х = — √3 .
Отв. х = πn; х = π/3(3п — 1).
________________________________________________
90. Представим 2 как 2sin2 x + 2cos2 x, после чего уравнение решается как предыдущее.
Отв. х = πn + π/4 ; х = πn — arc tg 7/4 .
________________________________________________
91. Отв. х = π/4(4п + 1) ; х = πn + arc tg 3/2 .
________________________________________________
92. Заменим √3 на ctg 30° (вводим «вспомогательный угол» 30°). Данное уравнение запишется так:
или
sin x sin 30°+ cos x cos 30° = sin 30°
или еще так :
cos (x — 30°) = 1/2.
Отсюда x — 30° = 360°n ± 60°.
Отв. x = 360°n +90° = 90°(4n + l ); x =360°n — 30° = 30° (12n —1).
________________________________________________
93. Левую часть можно представить в виде произведения √2 cos (х—45°). Получим уравнение cos (х — 45°) = 1/√2, оно дает
х — 45° =360°n — 45° и х — 45° = 360°n + 45° ,
то есть
х =360°n и х =360°n + 90°
или
х = 90°• 4п и х = 90° (4п + 1).
Другой способ. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
sin2 х +2 sin х cos х + cos2 х = 1
или sin2 = 0. Это уравнение имеет решения x = 90°п, но среди них имеются посторонние (сравнить с предыдущим результатом).
Появление лишних решений обусловлено тем, что мы возводили обе части уравнения в квадрат; тем самым мы, кроме данного уравнения, привлекли еще уравнение
sin x + cos x = — 1
(из него получим тоже sin 2x = 0). Чтобы отбросить лишние корни, выполним проверку.
При n = 0 имеем х = 0°, и данное уравнение удовлетворяется. Оно удовлетворяется и при п = 4, 8, 12 и вообще при n = 4k (т. е. при х = 90°• 4k = 360°k).
При n =1 имеем х =90°; данное уравнение снова удовлетворяется. Оно удовлетворяется также при n = 5, 9, 13 и вообще при 4k+1 (т. е. при х =90° (4k+1) = 90° +360°k).
Ho при п =2, 6, 10 (вообще при п = 4k +2) и при n =3, 7, 11 (вообще при п =4k +3) данное уравнение не удовлетворяется (вместо него удовлетворяется уравнение sin x + cos x = = — 1 ).
Отв. х = 90°• 4п ; х = 90° (4п + 1).
________________________________________________
94. Преобразуем правую часть:
1 + sin 2х = sin2х + cos2х + 2 sin х cos х = (sin х + cos х)2,
после чего уравнение примет вид
sin х + cos х = (sin х + cos х)2
или
(sin х + cos х) (sin х + cos х — 1) = 0.
Последнее уравнение распадается на два:
1) sin х + cos х = 0;
2) sin х + cos х — 1 = 0.
Решая первое, найдем х = π/4 (4п — 1),
Второе решено в предыдущей задаче.
Отв. х = π/4 (4п — 1); х = π/2 (4п + 1); х = π/2 • 4п .
________________________________________________
95. Решается как задача 93. Отв. х = 15° (8n +1).
________________________________________________
|