|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ответы и решения sin α sin β = 1/2 [cos (α — β) — cos (α + β)], получим 1/2 [cos (х — 7х) — cos (х + 7х)] = 1/2 [cos (3х — 5х) — cos (3х + 5х)] или, после упрощений, cos 6х — cos 2х = 0. Это уравнение распадается на два (12) : sin 4х = 0; sin 2х = 0, причем все корни второго уравнения входят в число корней первого, Отв. х = πn/4. ________________________________________________ 97. Применим к левой и правой частям уравнения формулу sin α cos β = 1/2 [sin (α + β) + sin (α — β)] Отв. х = πn/2; х = π/8 (2n + 1). ________________________________________________ 4 sin х sin 2х sin 3х = sin 2 (2х) или sin 2х (2 sin х sin 3х — cos 2х) =0. Заменяем 2 sinх sin 3х на cos 2х — cos 4х (см. задачу 96); получим уравнение sin 2х (cos 2х—cos 4х—cos 2х) =0 или sin 2х cos 4х = 0. Отв. х = πn/2; х = π/8 (2n + 1). ________________________________________________ 99. Заменим sin2 х на 1 — cos2 х ; получим' 5 cos2 х + 4 cos x — 3 = 0, откуда найдем
________________________________________________ 100. Применив формулу cos 2α и выразив косинус через синуc, получим 10 sin2 х + 4 sin х — 5 = 0.
________________________________________________ 101. Применив формулу тангенса суммы, получим
и приведем данное уравнение к виду *) tg2 х — 4 tg х + 1= 0. Отв. х = πn + arctg (2 ± √3 ). ________________________________________________ ************** *) При освобождении от знаменателя можно получить постoроннне решения, но в ближайших трех задачах (в них посторонних решений нет) исследования мы не проводим. Начиная с задачи 107, этому исследованию уделяется большое внимание. См, также задачу 109. *************** 102. Так как
oно приводится к виду 9 cos2 х —6 cos х + 1 = 0 или (3 cos x — 1)2 = 0, Отв. х = 2πn + arccos 1/3. ________________________________________________
Правая часть равна sec2 x/2 — 1 = tg 2 x/2. Получаем tg x/2 = tg 2 x/2. Отв. х = 2πn; x = π/2(4n + 1). ________________________________________________
то имеем 1 + cos x + cos x/2 = 0 или 2cos2 x/2 + cos x/2 = 0. Отв. х = π (2п+ 1); х = 4π/3(3n ± 1). ________________________________________________ 105. Применив формулы приведения sin ( 3π/2— x) = — cos x и tg ( π/2 — x/2 ) = ctg x/2, получим уравнение 2(1 + cos x) — √3 ctg x/2 = 0. Воспользуемся формулой
тогда уравнение распадается на два: 1) 1 + cos x = 0 и 2) sin х = √3/2. Отв. х = π (2п+ 1); х = πn + (— 1)n π/3. ________________________________________________ 106. Заменив cos2 х на 1— sin2 х, после упрощений получим 3 sin х + cos x = 0 или tg х = — 1/3. Отв. х = πn — arctg 1/3. ________________________________________________
Сократим дробь на l + cos x. При этом предполагается, что l + cos x =/=0 (так что если потом получили бы такое решение, для которого cos x = — 1, то оно не годилось бы). Получим уравнение 1/sin x = 2, т. е. sin x = 1/2 (при этом значении sin x величина cos x не равна —1). Отв. х = πn + (— 1)n π/6. ________________________________________________ ctg (х — π) = — ctg (π — х) = ctg х . Данное уравнение можно записать в виде 2 ctg х — (cos х + sin х) (1/sin x— 1/cos x ) = 4. После приведения левой части к общему знаменателю это уравнение примет вид 1/sin x cos x = 4, откуда sin x cos x = 1/4 или sin 2х = 1/2 Отв. х = π/2 n + (— 1)n π/12. ________________________________________________
Сократим дробь на sin x. При этом предполагается, что sin x =/= 0, так что если получится такое решение, для которого sin x = 0, то оно не будет годиться. Данное уравнение (к левой его части применим формулы приведения) примет вид sin х + tg x = 1/2 tg x или sin x + 1/2 tg x = 0. Это уравнение можно представить в виде sin x ( 1 + 1/2cos x ) = 0 и оно распадается на два уравнения sin x = 0 и 1 + 1/2cos x = 0' Но первое уравнение дает посторонние решения, ибо прежде мы сокращали дробь на sin x. Чтобы лучше уяснить суть дела, подставим в правую часть sin x = 0; тогда вместо cos x придется подставить 1 или —1. В обоих случаях получим неопределенное выражение 0/0 . Отв. х = 2π/3 (3n ± 1). ________________________________________________
Сокращая на 1 — tg x/2 (при этом предполагается, что 1 — tg x/2 =/= 0 см. решение предыдущей задачи), получаем — tg x/2 , и уравнение принимает вид — tg x/2 = 2 sin x/2 или sin x/2 ( sec x/2 + 2 ) = 0. Оно распадается на два: 1) sin x/2 = 0 и 2) cos x/2 = — 1/2. Из второго уравнения находим x/2 = 360°n ± 120° и получаем решение x =720°п ± 240°. Первое же уравнение даст только посторонние решения (x = 360°п), хотя и по иной причине, чем в предыдущей задаче. Именно, в данное уравнение входит величина ctgx/2, которая теряет смысл («обращается в бесконечность») при x = 360°п; значит, вся левая часть уравнения не имеет (прямого) смысла. Замечание. Левой части можно приписать расширенный смысл следующим образом. Если угол x мы будем неограниченно приближать к 360°п (к 0°, 360°, 720° и т. д.), то левая часть будет неограниченно приближаться к нулю. Величину нуль (предел левой части) естественно считать значением левой части (в расширенном смысле). В таком случае корень x = 360°п не будет посторонним. Но в элементарной математике такое расширение смысла выражений не принято. Отв. х = 240° (3n ± 1). ________________________________________________ 111. Применив формулы приведения, получим уравнение sin х— tg х = sec х — cos х или sin х — sin x/cos x= 1/cos x — cos х Помножим обе части уравнения на cos х (или, что то же, приведем к общему знаменателю и отбросим его). При этом предполагается, что cos х =/= 0, ибо если cos х = 0, то выражения sin x/cos x и 1/cos x теряют смысл («обращаются в бесконечность»). Получаем уравнение cos х sin х — sin х = sin2 х. Оно распадается на два: 1) sin х = 0; 2) cos х — sin х = l. Второе уравнение можно представить в виде √2 cos (45°+x) = 1 (ср. задачу 93), откуда х = 360°п и х = 360°п —90°. Решение х = 360°п входит в число решений первого уравнения (х =180°п), а решение х = 360°п —90° является посторонним, так как имеем cos(360°п —90°) = 0. Отв. х =180°п. ________________________________________________ 112. Применим формулы: sec2 х — tg2 х = 1 и cos 2х = cos2 х —sin2 х. Получим уравнение
которое приводится к виду tg2 х— tg х = 0. Отв. х = πn , х = π/4 (4п + 1). ________________________________________________
Предполагая, что sin х =/= 0 и cos х =/= 0, сократим дроби, перенесем все члены в левую часть и вынесем за скобку sin х + cos х. Получим (sin х + cos х) (sin2 х + cos2 х — cos х + sin х) =0. Заменим sin2 х + cos2 х на 1. Уравнение распадается на два. 1) sin х + cos х = 0 и 2) cos x— sin x = l. Первое уравнение дает х = π/4 (4п — 1), второе уравнение, (см. задачу 111) имеет решения х = 2πn и х = π/2 (4п — 1). Оба они — посторонние, ибо при х = 2πn имеем sin х = 0, а при х = π/2 (4п — 1) имеем cos х =0. Отв. х = π/4 (4п — 1). ________________________________________________ 114. Применим формулы тройных углов: sin 3x = 3 sin х — 4 sin3 x, cos 3x = 4 cos3 x — 3 cos x . Левая часть преобразуется к виду 3sin х cos x (cos2 х — sin2 х) = 3/2 sin 2x cos 2x = 3/4 sin 4x, и данное уравнение примет вид sin 4x = 1/2, Отв. х = πn/4 + (— 1)n π/24. ________________________________________________ 115. Перепишем данное уравнение так : tg 2x = tg 3x — tg x, и разделим обе части равенства на 1+ tg x tg 3x, чтобы применить к правой части формулу тангенса разности двух углов. Получим
откуда tg 2x = tg 2x ( l + tg x tg 3x ), или tg x tg 2x tg 3x = 0. Рассмотрим по отдельности три уравнения: 1) tg 3x = 0; 2) tg 2x = 0; 3) tg x = 0. Решение первого есть х = πn/3. Третье уравнение не дает ничего нового, так как все его решения (х = πm) входят в число решений первого (при п = 3m имеем πn/3 = πm ). Второе уравнение дает х = πn/2. При четном п эти решения опять не дают ничего нового (при п = 2k имеем πn/2 = πk ), при нечетном же п (п =2п'+1) они вовсе не являются решениями данного уравнения. Действительно, величины tg х и tg 3х, входящие в уравнение, при х = π/2 (2п'+1) теряют смысл («обращаются в бесконечность»). Поэтому второе уравнение необходимо отбросить. Отв. х = πn/3. ________________________________________________ 116. Применив формулу косинуса разности, приведем правую часть к виду √2 (cos x/2 + sin x/2 ) Поэтому и левую часть выразим через аргумент x/2. Имеем (1 + cos х) + sin x = 2 cos2 x/2 + 2 sin x/2 cos x/2 = 2 cos x/2 (cos x/2 + sin x/2 ) Перенеся все члены в левую часть, получим уравнение (cos x/2 + sin x/2 ) ( 2 cos x/2— √2 ) = 0 , распадающееся на два: одно дает х = 360°п—90°, другое х = 720° п ± 90°. В последнем выражении можно двойной знак заменить знаком плюс, потому что все величины 720°п—90° содержатся среди величин 360°п—90° (если в выражении 360°п—90° брать только четные п, т. е. положить п = 2п', то мы получим 720°п'—90°). Отв. х = 360°п — 90°; х = 720° п + 90° ________________________________________________ 117. Перепишем данное уравнение в виде sin2 2x = sin 3х + sin х; отсюда sin2 2x = 2 sin 2x cos x. Перенеся всe члены в левую часть, получим sin 2x (sin 2x —2 cos x) = 0 или 2 sin 2x cos x (sin x —1) = 0. Уравнение распадается на три: 1) sin 2x = 0; 2) cos x = 0; 3) sin x = l. Два последних можно не рассматривать, так как все их решения входят в число решений первого. (Имеем sin 2x = 2 sin x cos х = 2 sin x √1 — sin2x, так что, если cos x = 0 или если sin x = 1, то sin 2x = 0.) Отв. х = 90° п. ________________________________________________ 118. Левая часть равна 2 cos2 х—3 cos х. Правая теряет смысл при х = π/2 п, ибо ctg 2x «обращается в бесконечность». Поэтому будем считать, что х =/= π/2 п Знаменатель правой части равен
так что правая часть равна —cosec (π — х) • 2 sin х • cos х = —2 cosec х • sin х • cos х. Произведение cosec х • sin х (т. е. sin x/sin x ) можно заменить единицей, так как те значения х, при которых дробь sin x/sin x принимала бы неопределенный вид 0/0, мы исключили. Получаем уравнение 2 cos2 х — 3 cos x = — 2 cos х или cos x (cos x — 1/2 ) = 0, откуда cos х = 0 или cos x = 1/2. В первом случае получаем значения х = π/2 (2k + 1), которые мы выше исключили. Отв. х = π/3 (6п ± 1). Замечание. Значения х = π/2 (2k + 1) также будут решениями, если правую часть уравнения понимать в расширенном смысле, как указано в замечании к решению задачи 110 . ________________________________________________ (cos x + sin x)2 + 1 = 2 + 2 cos x sin x, правая часть равна 2(1—cos2 х ) + 2 cos х sin x = 0 или sin2 х + sin х cos х = 0. Оно распадается на два уравнения: sin x + cos x = 0 и sin x = 0, но при in x = 0 правая часть не имеет (прямого) смысла. Отв. х = — π/4 + πn. ________________________________________________ |
|
|
Другое значение 
не годится, так как его абсолютная величина больше единицы.
, то имеем уравнение
при этом предполагается, что sin х =/= 0. Уравнение принимает вид