ГЛАВА   2

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ    УРАВНЕНИЯ

Ответы и решения

187. Левую    часть    первого    уравнения    представим    в    виде 1/2 (cos х + cos у).   Решив систему, найдем cos х = 1/2; cos у = 1/2.

Отв. х = 2πk ± π/3;   у = 2πl ± π/3.

________________________________________________

188. Так как

то второе уравнение можно записать так:

соs(xу) — cos(x + у) =2m,

Но   х + у = α;   следовательно,

cos (x — y)= 2 m + cos α,

откуда

x — y = 2πn ± аrс cos(2 m + cos α),

и данная система распадается на две:

________________________________________________

189. Применив формулу         запишем второе уравнение так:       

Заменив cos x cos у на   и х + у на α  получим

или

Следовательно, имеем либо

х — у = 2πn ± аrс cos(  2sin α /m — cos α),

либо

y — x = 2πn ± аrс cos(  2sin α /m — cos α).

Каждое из этих уравнений в отдельности надо решить совместно с уравнением х + у = α. Впрочем, из двух систем, которые мы получим, одна отличается от другой лишь тем, что неизвестные обмениваются ролями, поэтому достаточно решить одну из систем.

Отв. x1 (= y2) = πn + α/2 + 1/2 arccos ( 2sin α /m — cos α ),

y1 (= x2) = — πn + α/2 — 1/2 arccos ( 2sin α /m — cos α ),

________________________________________________

190.   Решается как предыдущая задача.

Отв.

x1 π/4  (4n + 1)        x2 = — πn

          y1  = — πn                y2  = π/4  (4n + 1)

________________________________________________

191. Так как   1=20 и 4 = 161/2, то данную систему можно записать так:

{sin х + cos у = 0, sin2 х + cos2 у — Tj-,

откуда получим

1)   sin x = 1/2,    cos y = — 1/2      и      2)  sin x = — 1/2,   cos y = 1/2.

Отв. x1 = 180°n + (— 1)n 30°,    y1 = 360°n ± 120°;

        x2 = 180°n — (— 1)n 30°,    y2 = 360°n ±   60°.

________________________________________________

192.  Второе уравнение можно представить в виде

где в силу первого уравнения   sin x sin у = 1/4√2   .

Получаем систему уравнений:

sin x sin у = 3/4√2 ,    sin x sin у = 1/4√2 .

Складывая и вычитая их почленно, получим

cos (х — у) = 1/2   и   cos (х + у) = 1/4√2

откуда

х + у = 2πm ± arc cos 1/2√2,   х — у =  2πk ± π/4,

где т и k — произвольные   целые числа. В каждом из   этих уравнений можно взять любой из знаков  ±.

Замечание. Числа m + k и т — k тоже целые, но не вполне произвольные (если одно из них четное, то и другое четное, а если одно из них нечетное, то и другое нечетное).

Отв.  1) х =  πn + 1/2 arc cos 1/2√2   +   π/8  ,  

               y =  πt + 1/2 arc cos 1/2√2   —   π/8

2)  х =  πn + 1/2 arc cos 1/2√2   —   π/8 ,

      y =  πt + 1/2 arc cos 1/2√2   +   π/8

3)  х =  πn1/2 arc cos 1/2√2   +   π/8,

      y =  πt1/2 arc cos 1/2√2   —   π/8

4) х =  πn1/2 arc cos 1/2√2   —   π/8 ,

    y =  πt1/2 arc cos 1/2√2   +   π/8

где n = m + k; t = m — k (m и k — любые целые числа).

________________________________________________

193. Возведем в квадрат обе части каждого из данных уравнений и сложим почленно. Получим

l = 4 sin2 у + 1/4 cos2 у,    или    l = 4(1 — cos2 у) + 1/4 cos2 у,

откуда   cos2 у  = 4/5    и    sin2 у = 1/5     

 В      каждом      из выраженийcos cos у =  ± 2/5     и    sin у = ± 1/5   можно взять любой знак (так что в пределах от 0 до 360° угол у может иметь четыре значения). Подставляя эти значения  в данные уравнения, находим, что углы x и у удовлетворяют одному из   следующих   четырех   соотношений:

1)  cos x =   1/5  , sin x =  2/5  ,  cos у 2/5 ,   sin у1/5 ,

2) cos x =   1/5  , sin x = — 2/5 ,  cos у 2/5 ,   sin у = — 1/5 ,

3) cos x =  — 1/5  , sin x2/5 ,  cos у = — 2/5 ,   sin у1/5 ,

4)  cos x = —  1/5  , sin x = — 2/5 ,  cos у = — 2/5 ,   sin у = — 1/5 ,

Рассмотрим   первое   из     них.   

Если взять отдельно равенство cos x =   1/5  , то оно дает х = 2πn1 ± arc cos 1/5  Но (по определению главного значения арккосинуса) угол φ = arccos 1/5   принадлежит первой или второй четверти, где функция синус всегда положительна. Значит, нужно сохранить только знак плюс.

Действительно,  из   равенства   х = 2πn ± φ   следует,    что   sin x = ± φ = ± 2/5  Между ттем во взятом нами первом соотношении sin x =  2/5    ( а не —2/5 ). То же   имеет   место   для  угла   у,   так   что  в случае соотношения 1) мы получим

х = 2πn + arc cos 1/5  ,     у = 2πn1 + arc cos 2/5 ,

где n и n1—любые целые числа.

Рассуждая так же, найдем, что в случае второго соотношения

х = 2πn — arc cos 1/5  ,     у = 2πn1 — arc cos 2/5

и аналогично для третьего и четвертого соотношений.

Отв.   х = 2πn ± arc cos (± 1/5  )

 у = 2πn1 ± arc cos (± 2/5  )

где знаки в скобках одни и те же для х и для у и знаки перед аркусами также одинаковы.

________________________________________________

Используются технологии uCoz