ГЛАВА   3

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ  ФУНКЦИИ

Ответы и решения

211. Имеем

arcsin ( — 3/2)  =  — π/3 ,      arcctg(—1) = 3π/4

arccos 1/2 = π/4,    arccos (— 1) = π.

Отв.   5π/6

________________________________________________

212. Угол   φ = arccos x   заключен   между 0 и   180°   (по   определению главного значения   арккосинуса).   Значит, sin φ положителен (или   равен   нулю).    

Имеем   cos φ = х ,   откуда   sin φ =  + 1 — х2   (перед радикалом берется только знак плюс).

Следовательно,

т. е.

что и требуется доказать.

________________________________________________

213. См. решение предыдущей задачи.

________________________________________________

214. Положим arсctg ( — 3/4)  = φ , так что ctg φ =  — 3/4 . Угол  φ заключен между 90° и 180° (ибо главное значение арккотангенса заключено между 0 и 180°). Требуется найти sin φ/2. Применим формулу

где из двух знаков ± нужно взять только знак  +    (ибо угол φ/2 принадлежит первой четверти ). Предварительно нужно найти cos φ по формуле

получаем

(перед радикалом берем только знак плюс, так как φ принадлежит второй четверти). Теперь находим

________________________________________________

215. Положим   arcsin (— 2√2/3) = φ , так   как  sin φ = — 2√2/3  . Угол φ заключен в   пределах    между —90°   и 0° ( так как главное значение арксинуса заключено  между         —90° и + 90°). Требуется найти sin φ/2 . Эта величина - отрицательная.    Поэтому ,   формуле

нужно удержать только знак минус. Получаем

(перед радикалом берем только знак плюс!).

Отв.  sin  [ 1/2 arcsin (— 2√2/3)] =  — 1/3            

________________________________________________

216. Угол    φ = arccos (— 4/7)  заключен  между    90° и  180°    (см. решения двух предыдущих задач). Значит, ctg φ/2 положителен, так что

(перед  радикалом  берется   только   знак    плюс). Сюда  подставляем  cos φ =  — 4/7

Отв. ctg [ 1/2 arccos (— 4/7)] = 33/11

________________________________________________

217. Так как

arctg  3/3π/6

arcsin  3/2 = π/3

то имеем

tg (5 • π/6  —  1/4 π/3) = tg 3π/4  = — 1.

Отв. —1.

________________________________________________

218.  Имеем

arctg √3  = π/3

и

arccos 1/2 = π/3

Дальше — как в предыдущей задаче.

Отв.  — 3/2

________________________________________________

219. Отв. 1/2

________________________________________________

Используются технологии uCoz