|
226. Из определения главных значений обратных тригонометрических функций следует, что
arccos (cos x) = х, если 0 < х < π.
Чтобы использовать эту формулу, заменим sin (— π/7) с помощью формул приведения на косинус угла, заключенного между 0 и π. Напишем следующие равенства:
sin (— π/7) = — sin π/7 = cos (π/2 + π/7 ) = cos 9π/14.
В итоге получаем:
arccos [sin (— π/7) ] = arccos (cos 9π/14 ) = 9π/14
________________________________________________
227. По аналогии с решением предыдущей задачи имеем:
cos 33/5 π = cos(6π + 3/5 π) = cos 3/5 π = sin (π/2 — 3/5 π) = sin (— π/10).
Следовательно,
arcsin ( cos 33/5 π ) = arcsin [ sin (— π/10 )] = — π/10
________________________________________________
228. Положив arcsin x = α, arccos x = β, будем иметь
х = sin α и х = cos β = sin (π/2— β).
По определению главных значений имеем — π/2 < α < π/2 и 0 < β < π .
Из последнего неравенства следует неравенство — π/2 < π/2— β < π/2 .
Значит α = π/2— β, так как углы α и π/2— β заключены между —π/2 и π/2 и синусы этих углов равны. Формула доказана.
________________________________________________
229. Пользуясь тем, что arcsin x + arccos x = π/2 (см. решение задачи 228), преобразуем уравнение к виду
12πt2 — 6π2t+ ( l — 8α )π3 = 0, (1)
где t = arcsin х. При α < 1/32 дискриминант этого уравнения
D = 36π4 — 48π4(1 — 8α) < 0.
Следовательно, корни уравнения (1) невещественны и поэтому исходное уравнение при α < 1/32 не имеет решений.
________________________________________________
230. Положим arccos х = α, arcsin √1 — x2 = β.
а) Если 0 < x < 1, то 0 < α < π/2 и 0 < β < π/2 (так как 0 < √1 — x2 < 1). Остается лишь убедиться в том, что sin α = sin β. Но в силу неравенства 0 < α < π/2 имеем sin α = + √1 — x2.
С другой стороны, при всех у (| у | < 1) имеем sin arcsin у = у; в частности,
sin β = sin arcsin √1 — x2 = √1 — x2. Следовательно, при 0 < х < 1 имеет место формула
arccos х = arcsin √1 — x2.
б) Если — 1 < х < 0, то π/2 < α < π, 0 < β < π/2 , π/2 < π — β < π
Так как, кроме того, sin α = √1 — x2 и sin (π — β) = sin β = √1 — x2, то α = π — β, т. е. при —1 <х<0 имеет место формула
arccos х = π — arcsin √1 — x2.
________________________________________________
231. Докажем, что arcsin (— x) = —arcsin x. Положим arcsin ( — х) = α; тогда — x = sin α и, по определению главных значений,
— π/2 < α < π/2 (1)
Так как sin (—α ) = — sin α = x и так как из неравенства (1) cледует неравенство — π/2 < — α < π/2 , то — α = arcsin x, откуда α = —arcsin х, т. е. arcsin (—х)= = —arcsin x.
Аналогично доказывается формула arccos (—х) = π — arccos x.
________________________________________________
232. Из определения главных значений обратных тригонометрических функций следует, что arcsin (sin α) = α, если — π/2 < α < π/2.
Если — π/2 + 2kπ < х < π/2 + 2kπ, то — π/2 < х — 2kπ < π/2. Но тогда
arcsin (sin x) = arcsin [sin (х — 2kπ)] = х — 2kπ.
________________________________________________
233. По условию задачи
 (1)
Пользуясь формулой  , получим в силу (1)
и
arcsin [sin (α — π)] = arcsin ( — sin α) = —arcsin (sin α) = — у.
Но угол α — π лежит в пределах главного значения Arcsin x. Следовательно,
у = arcsin ( sin α) = π — α. (3)
Из (2) и (3) получаем, что а + β = π.
________________________________________________
234. В формулах arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x берутся главные значения обратных тригонометрических функций. Рассмотрим cos arcsin x. Это косинус дуги, синус которой равен х. Значит,
cos arcsin х = + √1 — x2, где — 1< х < 1.
Здесь, конечно, существенно, что —π/2 < arcsin x < π/2.
Аналогично sin arccos х = + √1 — x2, где — 1< х < 1.
Обозначим у = + √1 — x2; тогда 0 < у < 1.
Таким образом, надо найти соотношение между arcsin y и arccos у при 0 < у < 1. Эти два угла дополняют друг друга до π/2 (см. решение задачи 228).
Таким образом, arcsin cos arcsin x + arccos sin arccos x = π/2 .
________________________________________________
|