ГЛАВА   3

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ  ФУНКЦИИ

Ответы и решения

235.  Имеем arctg (х² — 3х — 3) = ^π/₄ , откуда х² — 3х — 3 = tg ^π/₄ т. е.

х² — 3х — 3 =1. Отсюда находим x₁  = 4; x₂ =—1.

Отв. x₁  = 4; x₂ =—1.

Замечание. Если бы вместо уравнения arctg (х² — 3х — 3) = ^π/₄ мы имели уравнение  arctg (х² — 3х — 3) = —^3π/₄, то   такое ураанение не имело бы решений, так как главное значение арктангенса не может   равняться —^3π/₄. Если не   обратить   внимания    на    это обстоятельство,   можно   получить   то   же    уравнение   х² — 3х — 3=1, но корни последнего уравнения не годятся.

________________________________________________

236. Имеем

arcsin (х² — 6х  + 8,5) = ^π/₆,

откуда х² — 6х  + 8,5 = 0,5.

Отв. x₁  = 4; x₂ = 2.

________________________________________________

237. Взяв тангенсы    обеих    частей    уравнения и   учитывая, что tg (arctg α) = α, получим

откуда x₁  = —1; x₂ = —2.    Проверяем эти    корни.

Если x₁=—1,  то

arctg (х + 2) = arctg 1 = ^π/₄

и

arctg(x + 1) =arctg 0 = 0,

так что    данное    уравнение    удовлетворяется.  Так    же докажем, что и второй корень годится.

Отв.   x₁  = —1; x₂ = —2.

Замечание.   Почему проверка необходима, видно из следующего примера. Рассмотрим уравнение

arctg (х + 2) — arctg(x + 1)  =  — ^3π/₄

отличающееся от данного только значением свободного члена. Заранее нельзя сказать, что оно не имеет решений (ср. задачу 235). Если бы, скажем, arctg (х + 2) равнялся — ^π/₃, a arctg(x + 1) был равен ^5π/₁₂ (эти значения могут быть главными значениями арктангенса), то левая   часть   равнялась бы    ^3π/₄.  Взяв   тангенсы обеих частей рассматриваемого  уравнения,   мы снова   получим уравнение

но теперь ни один из корней x₁  = —1; x₂ = —2 не годится. См. еще замечание к задаче 240.

________________________________________________

238. Берем тангенс   обеих    частей    уравнения.   Предварительно находим (см. предыдущую задачу):

и тогда получаем

Корень этого уравнения есть х = ¹/₇ его нужно проверить (см. замечание к предыдущей задаче). Подставляя в левую часть уравнения   х = ¹/₇ ,    получаем 2 arctg ¹/₇ — arctg ¹/₇.     Угол   α = arctg ¹/₂  заключен в   пределах    между   0 и   ^π/₄  (так   как   tg α = ¹/₂ < 1).

В тех же пределах лежит угол β = arctg ¹/₇ . Угол 2α принадлежит первой четверти, а угол 2α— β лежит между —^π/₄  и ^π/₂   Но tg (2α— β) = 1, так что 2α— β = πn + ^π/₄. Но только при n = 0 угол  2α— β попадает внутрь найденных нами границ. Следовательно, данное уравнение удовлетворится.

Отв.  х = ¹/₇.

________________________________________________

239. Возьмем синусы от обеих частей равенства. Можно положить

(см. решение задачи 221); но можно обойтись без них, воспользовавшись формулой       sin(arcsin x) = х (она непосредственно вытекает из  определения   арксинуса)   и   формулой   cos(arcsin x) = √1 — x^{2      1)}

¹⁾ Эта формула выводится следующим образом. Положим arc sin х = α. Тогда sin α = х и cos α = √1 — x² . Перед радикалом берется только знак плюс, так как угол α = arcsin x лежит в границах от —90° до +90° (главное значение арксинуса!). Подставляя вместо α выражение arcsin x, получаем требуемую формулу.

Следовательно, синус левой части равен

и данное уравнение принимает вид

Решив его, находим х = ²/₃ . Этот корень нужно проверить  (см. замечание к задаче 237), т. е. нужно доказать тождество

Доказательство ведется, как в задаче 223.

Oтв.  х = ²/₃

________________________________________________

240. Взяв тангенсы обеих частей уравнения, получим

откуда х = 1.

Это значение надо    проверить    (см.    замечание к задаче 237). Подставляя х = 1 в данное уравнение, получаем

                            (1)

Введем обозначение

arctg ^a/_b  = φ.                                          (2)

Здесь угол φ(главное значение арктангенса)  заключен в границах

—90° < φ < 90°.                                        (3)

При этом обозначении имеем

        (4)

так что надо проверить равенство

φ — arctg tg (φ — 45°) = 45°.                             (5)

Этогравенство будет верным в   том и   только в   том случае, когда

arctg tg (φ — 45°) = φ  — 45°                           (6)

Равенство же (6) имеет место, когда угол φ  — 45° (главное значение арктангенса) заключен в границах

—90° < φ  — 45° < 90°,                               (7)

т. е. когда

—45°<  φ  <  135°,                                     (8)

Учитывая неравенство (3), получаем для угла φ  более тесные пределы

—45°< φ  < 90°.                                      (9)

Из (2) и (9) находим

^a/_b =  tg φ >  tg (—45° )

т. е.

^a/_b   >  — 1  .                      (10)

Обратно, при  ^a/_b   >  — 1  угол φудовлетворяет неравенству (9). Следовательно, данное уравнение  имеет  решение   (х = 1)   при  ^a/_b   >  — 1. При ^a/_b   <  — 1    решений нет.

Например, при  а = — √3  ,  b = 1 имеем

arctg ^a/_b = arctg (— √3)  = —  60°;  

так что   левая часть   данного   уравнения равна   —135°,   а правая часть при х = 1равна 45°.

Отв.    х =1    при   ^a/_b   >  — 1;   уравнение не   имеет   решения при ^a/_b   <  — 1 .

________________________________________________