ГЛАВА   6

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

258. Вычислить sin (2 arctg¹/₅ — arctg ⁵/₁₂). Решение

259. Доказать,   что    если    tg α = ¹/₇,    sin β = ¹/_√10,   то

α + 2β = 45° (α и β— углы первой четверти).  Решение

260. Доказать, что

принимает   положительные   значения   при   всех   допустимых значениях х.  Решение

261. Доказать, что  равенство   sin α sin 2α sin 3α = ⁴/₅ невозможно ни при каких значениях α.  Решение

262. Выразить sin 5х через sin х и с помощью полученной формулы вычислить без таблиц sin 36°.  Решение

263. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

φ (х) = sin⁶ х +  cos⁶ х.   Решение

264. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = 2 sin² х + 4 cos² х  + 6 sin х cos х.    Решение

265. При каких целых значениях n функция

cos nx sin ⁵/_n х  

имеет период 3π *)?   Решение

*) Функция f (х) называется периодической, если существует число Т =/= 0 такое, что для всех допустимых значений х выполнено равенство f(x + T) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.

266. Доказать, что если сумма

а₁ cos (α₁ + х) + а₂ cos (α₂ + х)  + ... + а_n cos (α_n + x)

при x = 0   и   x = x₁ =/= kπ  (k — целое)   обращается   в   нуль, то она равна нулю при всяком х.  Решение

267. Доказать, что функция cos√x  не является периодической   (т.  е.   не   существует   такого   постоянного числа Т =/=  0, чтобы при всех х было cos√x + T = cos√x ). Решение

268. Доказать формулу

Указание.   Можно воспользоваться формулой Муавра

(cos x + i sin x)ⁿ = cos nx + i sin nx.   Решение

269. Вычислить сумму

Указание.   Применить формулу Муавра.   Решение

270. Рассматривается функция

f (х) = A cos х + В sin х,

где A и В — некоторые постоянные.

Доказать, что если f (х)обращается в нуль при двух значениях аргумента x₁ и x₂ таких, что

x₁ — x₂ =/= kπ

(k — целое число), то функция f (х)  тождественно равна нулю.   Решение