|
2.Приводим левую часть к общему знаменателю и преобразуем  к виду 
________________________________________________
3.Левая часть равна 
Чтобы перейти к углу  , используем формулу ( угол принимаем за φ) Получаем:
________________________________________________
4.Разделив числитель и знаменатель в левой части равенства на cos α, получим
Так как 1= tg 45о , то полученное выражение представим в виде
что и требовалось доказать.
________________________________________________
5.Умножив числитель и знаменатель левой части на cos α + sin α и, упростив, получим  или 
________________________________________________
6. Так как  , то левую часть представляем так:
Применив формулу разности косинусов (или раскрыв выражения  и  по формулам косинуса суммы и разности), получим
________________________________________________
7.Числитель равен cos 2α; знаменатель преобразуется к виду
С помощью формулы
получим
это выражение равно cos 2α, так что левая часть равна 1.
________________________________________________
8. Имеем
Рассматривая угол  как половину угла  и применяя формулы для синуса и косинуса половинного угла, получаем
________________________________________________
9.Выразив тангенс и котангенс через синусы и косинусы, получим
Подставим полученное выражение в знаменатель левой части; тогда в левой части получим
________________________________________________
10. Заменим sin α через  и cos α через  и применим формулы суммы косинусов и разности синусов.
________________________________________________
11. Заменим в числителе единицу на sin2 α + cos2 α, a sin 2α на 2 sin α cos α. В числителе получим (sin α + cos α)2; знаменатечь жe равен
cos2 α — sin2 α = (cos α + sin α) (cos α — sin α).
Сократив дробь на cos α + sin α , получим  Разделив числитель и знаменатель на cos α, найдем  [в задаче 4 показано, что это выражение преобразуется к виду tg (π/4+ α)].
________________________________________________
12. Как в задаче 10, преобразуем левую часть к виду ctg (π/4 — у ) Теперь применим формулу  ( приняв π/4 — у за α/2 ) Получим
________________________________________________
13. Выразив левую часть данного тождества через синус и косинус, произведя вычитание полученных дробей и применив формулу разности квадратов, получим левую часть в виде
а это выражение сразу дает правую часть.
________________________________________________
14. Применим формулу
(приняв π/4 — α/2 за φ/2 ) Получим
после чего левая часть преобразуется в правую.
________________________________________________
15. Решается, как предыдущая задача.
________________________________________________
16. Заменим 2 cos2 α через 1 + cos2α; тогда числитель примет вид: 2 (sin 2α + cos 2α). Члены знаменателя сгруппируем так; (cos α— cos 3α) + (sin 3α—sin α) и применим формулы для разности косинусов и синусов. Вынося 2 sin α за скобки, получим 2 sin α (sin 2α + cos2α). После сокращения на 2 (sin 2α+cos 2α) получим правую часть.
________________________________________________
17. Преобразуем числитель дроби, стоящей в левой части тождества:
sin α+sin 5α—sin 3α = 2 sin 3α cos 2α—sin 3α = sin 3α(2 cos2 α—1).
Произведя аналогичные преобразования в знаменателе дроби, получим
cos 3α (2 cos 2α—1).
________________________________________________
18. Преобразуем сумму первых двух членов левой части тождества по формуле суммы синусов, а третье слагаемое sin (b—с) будем рассматривать как синус двойного угла. Получим
К выражению, в скобках применим формулу суммы синусов.
________________________________________________
19. Рассматривая выражение sin6 х + cos6 х как сумму кубов, разложим его на множители и учтем, что sin2 x + cos2 x = l. Тогда левая часть равенства преобразуется к виду
—sin4x—2 sin2 x cos2 x —cos4x + l = l — (sin2x + cos2x )2 = 0.
________________________________________________
20. Сумму двух последних членов преобразуем как сумму синусов. Получим
sin ( α + 2π/3 ) + sin (α + 4π/3 ) = 2 sin (π + α) cos π/3 = — < 2 • 1/2 sin α = — sin α.
Следовательно, левая часть равна нулю.
________________________________________________
21. Имея в виду, что
можно левую часть равенства представить в виде
sin (45°+α+30°—α) sin (45°+α-30°+α)—sin 15°cos (15°+ 2α),
а так как sin 75°= cos 15°, то выражение примет вид
cos 15° sin (15°+2α) — sin 15° cos (15°+2α) = sin (15° + 2α— 15°) =sin 2α,
что и требовалось доказать.
________________________________________________
22. Числитель левой части представим в виде
(sin2 φ + cos2 φ) — 2 cos2 φ = sin2 φ — cos2 φ.
________________________________________________
23. В правой части заменим sin 2α на 2 sin α cos α. Сократив дробь на 2 sin α, получим в правой части выражение , равное tg2 α/2
________________________________________________
24. Объединив второй и третий, члены, вынесем зa скобки
cos (α + φ) =cos α cos φ — sin α sin φ. Левая часть примет вид
cos2 φ (cos α cos φ — sin α sin φ) (cos α cos φ + sin α sin φ),
Преобразовав произведение суммы на разность, найдем:
cos2 φ — cos2 α cos2 φ + sin2 α sin2 φ =
= cos2 φ (1 — cos2 α) + sin2 α sin2 φ = cos2 φ sin2 α + sin2 α sin2 φ ,
а это выражение дает sin2 α.
________________________________________________
25. Раскрыв выражение cos (α + β), получим:
sin2 α + sin2 β +2 sin α sin β cos α cos β — 2 sin2 α sin2 β
Оставим без изменения третий член, а остальные сгруппируем и преобразуем следующим образом:
sin2 α + sin2 β — 2 sin2 α sin2 β + 2 sin α sin β cos α cos β =
= sin2 α — sin2 α sin2 β + sin2 β — sin2 α sin2 β + 2 sin α sin β cos α cos β =
= sin2 α ( 1 — sin2 β) + sin2 β (1 — sin2 α ) + 2 sin α sin β cos α cos β =
= sin 2α cos2 β + cos2 α sin2 β + 2 sin α sin β cos α cos β .
Теперь данное выражение принимает вид
(sin α cos β)2+(cos α sin β )2+2 sin α sin β cos α cos β = (sin α cos β+cos α sin β)2 = sin2(α + β).
Отв. sin2(α + β).
________________________________________________
26. Преобразуем сумму первых трех членов следующим образом:
Учитывая, что по условию γ = π — (α + β), имеем
sin2 α + sin2 β + sin2 γ =1— 1/2(cos 2α + cos 2β ) + sin2 (α + β) =
= 1 — cos(α + β)cos(α — β) + [ l — cos2(α + β)],
или
sin2 α + sin2 β + sin2γ = 2 — cos(α + β) [cos(α — β)+cos(α + β)].
Но выражение в квадратных скобках равно 2 cos α cos β, а так как (α + β)= π — γ, то
sin2 α + sin2 β + sin2γ = 2 + 2cos γ cos α cos β,
Отсюда тотчас же следует доказываемое соотношение.
________________________________________________
27. Представим левую часть в виде
ctg A ctg B+ (ctg А+ctg В) ctg С.
Выражение в скобках равно  , а сомножитель ctg С, если заменить С равным выражением π — (А+В), примет вид — ctg (А+В), Следовательно, данное выражение равно
Применив формулу косинуса суммы, преобразуем его к виду
________________________________________________
28. Заменим множители cosπ/5 и cos 2π/5 выражениями 
Тогда левая часть примет вид sin 4π/5 : 4 sin π/2
А так как sin 4π/5 = sin ( π —π/5) = sin π/5, то левая часть обратится в 1/4
________________________________________________
29. Преобразуем левую часть по формуле суммы косинусов.
Получим 2 cos 2π/5 cos π/5. Дальше — как в предыдущей задаче.
________________________________________________
|
