|
31. Преобразовав данное выражение, как в предыдущей задаче, 2cos α ( cos α— √2/2 ). Вместо √2/2 напишем cos 45°.
Отв. 
________________________________________________
32. Запишем данное выражение в виде cos2 (α + β)— sin2 (α —β), последнее выражение приводится к виду, удобному для логарифмирования:
Отв. cos 2α cos 2β.
________________________________________________
33. Сгруппируем члены таким образом;.
(1 + cos α) + (tg α + sin α),
и вынесем за скобки во второй группе tg α.
Получим ( l + cosα) ( l + tg α). Вместо 1+ tg α напишем
________________________________________________
34. Применив формулу 1 — cos α =2 sin2 α/2 и sin α= 2 sinα/2cosα/2 , в числителе получим
2 sin2 α/2 + 2 sinα/2cosα/2 = 2 sinα/2( sinα/2+ cosα/2)
Выражение в скобках равно sinα/2 + sin ( 90° — α/2 )
Пользуясь формулой суммы синусов, приведем его к виду
√2 cos (45°— α/2 )
Отв. 2 √2 cos (45°— α/2 )
________________________________________________
35. Данное выражение равно  Числитель преобразуется к виду 2 √2 cos (45°— α/2 ) (см. предыдущую шзадачу). Дробь еще упростим, представив знаменатель в вид»
sin (90° — α ) = 2 sin (45°— α/2 ) cos (45°— α/2 )
________________________________________________
36. Так как cos α — cos 3α = 2 sin 2α sin α , тo
2 sin 2α sin α + sin 2α = 2 sin 2α ( sin α + 1/2) =2 sin 2α (sin α+sin 30°)
Отв. 4 sin 2α sin ( α/2 + 15°) cos (α/2 — 15°)
________________________________________________
37. Данное выражение равно
Отв. 2 tg 2α.
________________________________________________
38. Заменив sin 2β на 2 sin β cos β и сократив на 2 sin β, получим  применив формулу
получим tg2 β/2,
Отв. tg2 β/2
________________________________________________
39. Преобразовав сумму cos α + sin α в числителе √2 —(cos α + sin α) и разность sin α—cos α в знаменателе, как в задаче 34, получим
________________________________________________
40. Преобразуем сумму двух последних членов:
Отв. 2 ctg α
________________________________________________
41. Заменим cos 2α на cos2 α—sin2 α, a sin 2α — на 2 sin α cos α,
Отв. 1.
________________________________________________
42. Заменим 2 sin2 α —1 на —cos 2α и представим данное выражение в виде
Напишем cos 30° вместо √3/2 и sin 30° вместо 1/2.
Отв. 2 sin (2α—30°).
________________________________________________
43. Числитель равен
Знаменатель равен
Отв. 1/2 tg 2α.
________________________________________________
44. Данное выражение равно (см. предыдущую задачу)
Выражение в скобках равно
________________________________________________
45. Последнее слагаемое равно cos2x, так что данное выражение представляется в виде (tgx—1)(1—sin x) +cos2 x. Заменив cos2 x на 1—sin2 x, вынесем за скобки 1 —sinx . Получим
(1—sinx) [(tgx — l) + l + sin x] = (1—sin x) (tg x+sin x) = (1— sin x) tgx (l+cosx)
Первый сомножитель преобразуется, как в предыдущей, задаче.
Отв. 4 tg х cos2 x/2 sin2 (45°— x/2).
________________________________________________
46. Числитель и знаменатель дроби соответственно равны:
(1+cos 2α) + (cos α+cos 3α) =2 cos2 α+2 cos 2α cos α
и
cos α + cos 2α.
Отв. 2 cos α.
________________________________________________
47. Данное выражение равно
(1— sin2 β ) — sin2 α cos2 α —cos4α = cos2 β—cos2 α (sin2 α+cos2 α),
Получаем выражение cos2 β —cos2 α, которое преобразуется, как в решении задачи 32.
Отв. sin (α+β) sin (α—β).
________________________________________________
48. Приведем данное выражение к общему знаменателю cos х cos у cos z. Числитель будет
sin х cos у cos z + sin у cos z cos х + sin z cos х cos у—sin [ (х + у) + z],
Последний член равен — sin (x+y) cos z —cos (x+y) sin z. Сумма первых двух членов взаимно уничтожается с членом — sin (x+y) cos z , к числитель принимает вид
sin z cos х cos у —cos (х + у) sin z = sin z [cos x cos у — cos (x + y)].
Раскрывая выражение cos (x + y), получаем в числителе sin z sin x sin у.
Отв. tg x tg у tg z.
________________________________________________
49. Данное выражение равно  Ho
по условию γ =180°— (α + β); следовательно, получаем
Выносим за скобки 
(или, что то же,  )
В скобках получаем выражение  , которое преобразуется по формуле суммы косинусов.
Отв. 
________________________________________________
|