Доказательство тригонометрических тождеств

При доказательстве любых  тождеств,  и  в частности   тригонометрических,  обычно  используют следующие способы:

1)   выражение, стоящее и одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в   другой   части   равенства;

2)   выражения, стоящие в левой и  правой частях тождества, с помощью  тождественных   преобразований   приводят  к одному и тому же виду;

3)  доказывают,  что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.

Поясним это на некоторых частных примерах.

Пример 1.   Доказать тождество

sin⁴α — cos⁴α  = sin² α  — cos² α .

Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем:

sin⁴α — cos⁴α = (sin²α + cos²α) (sin²α — cos²α).

Ho sin²α  + cos²α  = 1.   Поэтому

sin⁴α — cos⁴α = sin²α — cos²α, что и требовалось доказать.

Пример 2.   Доказать тождество

Это   тождество   мы   будем  доказывать   путем   преобразования выражения, стоящего в правой части.

Способ    1.

Поэтому

Способ   2.   

Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = ¹/_{ctg α}.   Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α, не изменяя значения дроби. Следовательно,

Используя   тождества    tg α • ctg α = 1  и   1+ ctg²α  = cosec² α , получаем

Поэтому что и требовалось доказать.

Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α) определена при всех значениях α,  а  правая — лишь  при α =/= ^π/₂ n.

Поэтому только при всех допустимых  значениях α         Вообще   же   эти выражения не   эквивалентны  друг другу.

Пример   3.   Доказать тождество

sin (³/₂ π + α ) + cos ( π - α ) = cos ( 2π + α ) - 3sin (^π/₂ - α )

Преобразуем  левую  и правую части этого тождества, используя формулы приведения:

sin (³/₂ π + α ) + cos ( π - α )  = — cos α — cos α  = — 2 cos α;

cos ( 2π + α ) - 3sin (^π/₂ - α ) = cos α — 3 cos α = — 2 cos α.

Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.

Пример    4.    Доказать  тождество

sin⁴ α + cos⁴ α — 1 = — 2   sin²α cos²α.

Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества  равна  нулю.   

Имеем:

(sin⁴ α + cos⁴ α — 1) — (— 2   sin²α cos²α)  = (sin⁴ α + 2sin²α cos²α + cos⁴ α) — 1 =

= (sin²α  + cos²α)² — 1 = 1 — 1 = 0.

Тем самым тождество доказано.

Пример    5.   Доказать тождество

Это тождество   можно   рассматривать   как   пропорцию.   Но чтобы доказать справедливость    пропорции  ^a/_b = ^c/_d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 — sin α) (1+ sin α) = cos α • cos α.

Действительно,   (1 — sin α)   (1 + sin α) = 1 —sin²α = cos²α.

По поводу этого примера можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию к примеру 2.

Упражнения

I . Доказать  тождества

 II . Упростить выражения

III.

1). Найти  значение  выражения   , если   известно, что tg α = ¹/₃

2). Найти значение выражения   , если известно, что котангенс угла α не определен.

3). Найти  значение  выражения  , если   известно, что ctg α = ¹/₂

IV. Доказать тождества