Арккосинус числа а

 Равенство   sin  φ = а  при |а| < 1 однозначно определяет угол φ, если дополнительно потребовать, чтобы он находился в пределах  — ^π/₂ < φ < ^π/₂,   или — 90° < φ < 90°.

Аналогичным свойством обладает равенство

cos  φ = a                   (1)

только в качестве дополнительного ограничения, накладываемого на угол φ, нужно выбрать  следующее  условие:

0 < φ < π,   или   0° < π < 180°.

Действительно, в интервале 0 < φ < π функция у = cos x  непрерывно убывает
от 1  до  —1.

 Следовательно, в этом интервале при | а | < 1 косинусоида у = cos x обязательно пересечется с прямой у = а и притом только в одной точке. Поэтому равенство (1) при дополнительном условии 0 < φ < π определяет угол φ однозначно. Этот угол принято называть арккосинусом числа а и обозначать arccos a.

Арккосинус а есть угол, заключенный в интервале от 0 до π (или от 0° до 180°), косинус которого равен а.

Примеры.

1)    arccos ¹/₂ = ^π/₃    или  arccos ¹/₂ = 60°. Действительно, угол в ^π/₃ радианов попадает в интервал [0, π]  и косинус его равен ^π/₃.

2)   arccos (—^{\/  3}/₂) = ^5π/₆,   или arccos (—^{\/  3}/₂) = 150°. Действительно, угол в 150° попадает в интервал [0°, 180°] и косинус его равен —^{\/  3}/₂.

3)   arccos (—1) = π, или  arccos   (—1) = 180°.   Действительно, угол   в   180°   попадает   в   интервал    [0,  180°]    и    косинус   его равен  —1.

Аналогично

arccos 1 = 0,     arccos 0 = ^π/₂  и т. д.

Заметим, что из равенства

cos(— ^π/₂) = 0

нельзя сделать вывод, что arccos 0 = —^π/₂. Ведь угол в —^π/₂ радианов не попадает в интервал [0, π] и потому не может равняться  арккосинусу  числа  0.

Упражнения

I.   Какие значения могут принимать величины а и b, если b = arccos a?

II. Вычислить

1.   arccos 0 + arccos (—1) + arccos  1.

2.  arccos 0 + arccos  ¹/_\/2   + arccos ( — ¹/_\/2) + arccos ^{\/  3}/₂

3.   arccos (— 1) — arccos 1 — arccos (—^{\/  3}/₂).

4.  5 arccos (—1) — 12 arccos ^{\/  3}/₂ — 6 arccos ( — ¹/_\/2 ).

III.   Можно ли  из равенства    cos 3π = — 1  заключить,  что arccos   (—1) = 3π?

IV.  Вычислить:

а)  cos (arccos. 0,5);        в) sin [arccos ( \/2 — 2)] ;

б)  cos   (arccos  0,2);       г) sin   [arccos  (3 —  \/2 )].

V.   Найти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов:

a) arcsin  0,5;       б) arccos   1.

VI.   (Устно.)   В каких четвертях оканчиваются углы:

а)  arccos (0,7);        в) arccos (—0,3);

б)  arccos   (0,9);       г) arccos   (1,3)?

VII. Доказать тождества

1. arccos (cos ^π/₇) = ^π/₇ .

2.  arccos ( —  cos ^π/₇) = cos  ^6π/₇.

3.   arccos (—x) = π — arccos x.

VIII. Вычислить:

1.   arccos (cos 6).

2.   arccos  (cos 1).

IX.  Могут ли выражения arcsin а и arccos а при положительном значении а принимать значения:   а) одного знака;    б) разных знаков?