Уравнения tg х = а и ctg х = а   

Все корни  уравнения     tg x = a

задаются формулой

х = arctg a + mπ,                 (1)

или

х = arctg а + 180° m,             (2)

где m пробегает все целые числа (m = 0, ± 1, ±2, ±3, ....). Предлагаем   учащимся  доказать   это  самостоятельно.   При   этом следует  использовать   рисунок  .

Аналогично  все  корни   уравнения  ctg х = а определяются соотношением

х = arcctg a + mπ,           (3)

или

х = arcctg а + 180° m.       (4)

Это  хорошо  иллюстрируется   рисунком.

Рассмотрим два  примера.    .

1)   Решить   уравнение  tg (30° — х) = \/3

 Используя  формулу   (2),   получаем:

30° — х = arctg \/3 + 180° m = 60° + 180° m.

Отсюда

х = —30°— 180°m,

что можно представить, конечно, и в таком виде:

х= —30°+ 180° k.

2)   Решить   уравнение   ctg ( 2х — ^π/₄ ) = —1.

Используя  формулу   (3),   получаем:

2х — ^π/₄  =  arcctg (— 1) + mπ  = ^3π/₄ + mπ.

Отсюда

2х = π + mπ = (1 + m)π,

x = ^π/₂(m + 1)

Поскольку m может быть любым целым числом, то полученный результат можно представить и в более простой форме:

x = ^π/₂ k

Упражнения

Решить уравнения:

1.  tg3x = 0.                             6. ctg(3x — 45°) = — ¹/_\/3.

2.  tg(2x + 60°)= —1.              7. ctg πx = 0.

3.  tg (^π/₃  — 5x) =  \/3.           8. ctg (^π/₆  — x) =  —1.

4.  tg πx = l.                              9. tg x + ctg x =0,5.

5.  ctg (30° + 2x) = ¹/_\/3         10.  tg x + ctg x = 2.