Более сложные тригонометрические уравнения  

Уравнения

sin  х = а,
cos х = а,
tg х =  а,
ctg х = а

являются простейшими тригонометрическими уравнениями. В этом параграфе на конкретных примерах мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Их решение, как правило, сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Пример   1.   Решить уравнение

sin 2х = cos х sin 2x.

Перенося все члены этого уравнения в левую часть и разлагая полученное выражение на множители,  получаем:

sin 2х (1 — cos х) = 0.

Произведение двух выражений тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а другой принимает любое числовое значение, лишь бы он был  определен.

Если sin 2х = 0, то 2х = nπ  ;  х = ^π/₂  n.

Если же 1 — cos х = 0, то cos х = 1;  х = 2kπ.

Итак, мы получили две группы корней: х = ^π/₂  n ; х = 2kπ. Втoрая группа корней, очевидно, содержится в первой, поскольку при  n = 4k  выражение х = ^π/₂  n  обращается в
х = 2kπ .  

Поэтому ответ можно записать одной формулой:  х = ^π/₂  n,  где n —любое целое число.

Заметим, что данное уравнение нельзя было решать путем сокращения на sin 2x. Действительно, после сокращения мы получили бы 1 — cos х = 0, откуда х = 2kπ. Таким образом, мы потеряли бы некоторые корни, например ^π/₂,   π,  ^3π/₂.

П р и м е р 2.    Решить  уравнение

Дробь равна нулю лишь в том случае, когда ее числитель равен  нулю.   
Поэтому  sin  2х = 0,   откуда   2х = nπ;       х = ^π/₂  n.

Из этих значений х нужно выбросить как посторонние те значения, при которых sin х обращается в нуль (дроби с нулевыми знаменателями не имеют смысла: деление на нуль не определено). Такими  значениями  являются числа,  кратные    π.    В формуле
х = ^π/₂  n  они получаются при четных n. Следовательно, корнями данного  уравнения будут числа

х = ^π/₂  (2k + 1),

где k — любое целое число.

Пример    3.    Решить  уравнение

2 sin² х + 7 cos x — 5 = 0.

. Выразим sin² х  через cos x:   sin² х = 1 — cos²x. Тогда данное уравнение можно переписать в виде

2 (1 — cos²x) + 7 cos x — 5 = 0, или

2cos²x — 7 cos x + 3 = 0.

Обозначая cos x через у, мы приходим к квадратному уравнению

2у² — 7у + 3 = 0,

корнями которого являются числа ¹/₂ и 3. Значит, либо cos x = ¹/₂ , либо cos х = 3. Однако последнее невозможно, поскольку косинус любого угла   по   абсолютной   величине не    превышает   1.

Остается признать, что cos x = ¹/₂, откуда

x =  ± 60° + 360° n.

Пример    4.    Решить  уравнение

2 sin х + 3cos x = 6.

Поскольку sin x и cos x по   абсолютной   величине  не превышают 1, то выражение
2 sin х + 3cos x не может принимать значений, больших, чем 5. Поэтому данное уравнение не имеет корней.

Пример    5.    Решить  уравнение

sin х + cos x = 1

Возвысив обе части данного уравнения в квадрат,   мы  получим:

sin² х + 2 sin x cos x + cos² x = 1,

но sin² х + cos² x  = 1. Поэтому 2 sin x cos x = 0. Если sin x = 0, то х = nπ; если же
cos x, то х = ^π/₂   + kπ. Эти две группы решений можно записать одной формулой:

х = ^π/₂  n

Поскольку обе части данного уравнения мы возводили в квадрат,то не исключена возможность, что среди полученных нами корней имеются посторонние. Вот почему в этом примере, в отличие от всех предыдущих, необходимо сделать проверку. Все значения

х = ^π/₂  n  можно разбить на 4 группы

	1) х = 2kπ.	( n = 4k)
	2) х = π/2   + 2kπ.	( n = 4k + 1)
	3) х = π   + 2kπ.	( n = 4k + 2)
	4) х = 3π/2   + 2kπ.	( n = 4k + 3)

При х = 2kπ    sin x + cos x = 0 + 1 = 1. Следовательно, х = 2kπ — корни данного уравнения.

При х = ^π/₂   + 2kπ.   sin x + cos x = 1 + 0 = 1 Значит, х = ^π/₂   + 2kπ  — также корни данного уравнения.

При х = π   + 2kπ    sin x + cos x  = 0 — 1 = — 1. Поэтому значения х = π   + 2kπ не являются корнями данного уравнения. Аналогично показывается, что х = ^3π/₂   + 2kπ. не являются корнями.

Таким образом,  данное  уравнение имеет следующие  корни: х = 2kπ и  х = ^π/₂   + 2mπ., где k и m — любые целые числа.

Упражнения

Решить  уравнения:

1). cos х = sin 2x cos х.	11). cos2 x — 1 = cos ( 90o — x)
2). tg х + sin х tg х = 0	12). 2sin2 x = 2 + 5cos x
3). cos х cosec2 x = 0	13). \/3 tg2 (x + 40o) = ctg (50o — x)
4).	14). sin х + cos х = 3
5).	15). 2sin х — 3cos х = 6
6).	16). sin х + cos 2х = 2
7). cos х + tg х = 0	17). sin х cos2 х = — 1
8).  tg 2 x + 2tg х — 3 = 0	18). cos2 х  — 2sin2 x= — 3
9). 2cos2 x + 5cos x — 3 = 0	19). sin х — cos х = 1
10). 2cos2 x = 3sin х	20). sin х = cos х