Выражение   sin α и cos α   через тангенс  половинного угла

При решении некоторых задач оказываются полезными   следующие формулы:

Докажем их.

Тем самым доказана формула (1).  Аналогично доказывается и формула (2):

Формулы (1) и (2) верны лишь в том случае, когда cos ^α/₂ =/= 0, или, другими словами, когда выражение tg ^α/₂ определено.

Пример.  Найти sin α и cos α, если tg ^α/₂ = 2. По формулам (1) и (2)  получаем:

Упражнения

1.   Найти sin α и cos α, если tg ^α/₂  = 5.

2.   Найти sin 2α и cos 2α, если

a) tg α = — 3;                 б) ctg α = 3.

3.   Дать   тригонометрическое   доказательство   неравенства

4.  Доказать, что sin 2α и tg α имеют один и тот же знак {оба отрицательны,  оба   положительны   или   оба   равны   нулю) при любом α.

5.   Известно, что tg ^α/₂ = ¹/₂. Найти:

а)  sin⁴ α — cos⁴ α;

б)  sin α • cos α • cos 2α.