2 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Изучение темы начать с решения задач на повторение из главы 1
§ 4. НЕРАВЕНСТВА
Доказательство неравенств
222. Доказать неравенства:
1) а + 1/a < 1 при а < 0;
2) | а | — 1/a > 1 при а < —1;
3) 1/a2 — 1/a > 2 при — 1 < а < 0.
223. Доказать неравенства при х > 1:
1) 1 + 1/x <* 2) 4/x2 — x/2 < 3; 3) 3x — 2/x2 >1.
224. Если а < b, то а < a+b/2 < b. Доказать.
225. Что больше:
1) 7/√195 или 1/2;
2) √5 + √6 или √21 ;
3) √11 + √15 или √12 + √14 ?
226. 1) Если x> 2, то x—1/2 — x—2/2 > 1/2. Доказать.
2) Если x > 12, то x+3/3 — x+2/2 < х. Доказать.
227. Доказать неравенства:
228. Доказать, что сумма квадратов двух неравных положительных чисел больше удвоенного произведения их.
229. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел а и b не меньше их среднего геометрического. Привести геометрическое пояснение для случаев:
1) а = b; 2) а =/= b
230. Доказать, что в треугольнике сумма стороны с высотой, опущенной на эту сторону, больше полупериметра.
231. Доказать, что произведение суммы трех положительных чисел на сумму обратных величин этих чисел не менее девяти.
232. Дано: а > 0, b > 0. Как изменится величина дроби a/b , если и числитель, и знаменатель ее увеличить на одно и то же положительное число?
Рассмотреть случаи: 1) а < b; 2) а > b.
233. Теплоход совершил путь АВ по течению реки и путь ВА против течения. Доказать, что средняя скорость теплохода в этом движении меньше его собственной скорости (собственную скорость теплохода и скорость течения реки считать постоянными).
234* . Самолет пролетел путь от A до B по ветру и путь от В до А против ветра, причем скорость ветра не изменялась. Затем самолет совершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени? Как зависит время, расходуемое на весь полет, от скорости ветра?
235*. Катер проплыл расстояние АВ по течению реки и вернулся обратно, причем во время движения катера дул ветер в направлении течения.
1) Показать, что время, затраченное катером на этот рейс, больше того времени, которое потребуется ему на такой же рейс в безветренную погоду. Скорости течения и ветра, а также собственную скорость катера считать постоянной.
2) Выяснить, как изменится время, необходимое на этот рейс, если ветер направлен против течения и имеет ту же скорость.
236*. Два трактора могут вспахать поле за T1 дней. Если бы первый трактор вспахал половину поля, а затем второй остальную часть, то потребовалось бы Т2 дней. Доказать, что Т2 > 2Т1.
237*. Велосипедист должен был проехать в определенный срок некоторое расстояние, двигаясь с постоянной скоростью и без остановок. Однако он на одной части пути а увеличил скорость на т, а на остальной части на столько же уменьшил ее, причем прибыл к месту назначения своевременно. Доказать, что увеличение скорости т меньше предполагаемой постоянной скорости велосипедиста и что путь а более половины всего пути.
238*. Катер должен был проплыть путь АВ по течению и путь ВА против течения в определенный срок с постоянной собственной скоростью. На пути АВ он уменьшил собственную скорость, а на пути ВА на столько же километров в час увеличил ее. Опоздал ли катер?
Доказать неравенства.
239. 1) а2 + b2 + с2 + 3 > 2 (а + b + с), если а =/= 1, b =/= 1, с =/= 1
2) х2у2 + х2 + у2 + 1 > 4ху, если x =/= 1, y =/= 1;
3) а4 + b4 > a3b + ab3, где а > 0, b > 0;
4) (т + п)(mп + 1) > 4mn, если т > 0, п > 0, т =/= п.
240*. В треугольнике ABC дано: а3 = b3 + с3, где а, b и с — длины сторон треугольника. Может ли быть угол А прямым или тупым?
ОТВЕТЫ
