6 ПРОГРЕССИИ

§ 25. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Предел числовой последовательности

1259. Центральный угол правильного многоугольника, имеющего п сторон, вычисляется по формуле

α _n = ^360°/_n

1) Какие значения может принимать буква п в этой формуле?
2) Вычислить с точностью до 1' значения семи первых членов
последовательности α _n.
3) Показать, что значения величины центрального угла при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника образуют убывающую числовую последовательность, ограниченную снизу.
4) При каких значениях п величина центрального угла будет меньше 1°; 1'; 1"?

1260. Внутренний угол правильного многоугольника, имеющего п сторон, вычисляется по формуле

1) Вычислить с точностью до 1' значения шести первых членов числовой последовательности β_n.
2) Показать, что значения величины внутреннего угла при неограниченном увеличении числа сторон (п) многоугольника образуют возрастающую числовую последовательность, ограниченную сверху. Какое число является ее верхней границей?
3) При каких значениях п справедливы неравенства:

| 180°— β_n | < 1°;
| 180° — β_n | < 1';
| 180° — β_n | < 1"?

4) Записать с помощью математических знаков предел β_n.

1261. Общий член числовой последовательности выражается формулой

1) Вычислить четыре первых члена последовательности.
2) Показать, что последовательность x_n возрастает, но остается меньше 1.
3) Найти, при каких значениях п абсолютная величина разности | 1 — x_n| меньше 0,01; 0,001.
4) Показать, что, каким бы малым ни было взято число ε > 0, всегда можно найти такое значение п, начиная с которого  | 1 — x_n| < ε.  Чему равен  x_n  ?

1262. Общий член последовательности выражается формулой

1) Вычислить шесть первых членов этой последовательности
2) Отметить на числовой оси точки, абсциссы которых равны значениям найденных членов последовательности.
3) Показать, что последовательность x_n убывает, но остается больше 2.
4) При каких значениях п абсолютная величина разности | x_n — 2 |
меньше 10^—3; 10^—5?
5) Показать, что, каким бы малым ни было число ε > 0, всегда можно найти такое значение п, начиная с которого | x_n — 2 |< ε, Чему равен предел  x_n ?

1263. Общий член последовательности выражается формулой

1) Вычислить восемь первых членов последовательности x_n.
2) Отметить найденные члены последовательности на числовой оси.
3) Показать, что последовательность x_n является колеблющейся и ограниченной.
4) При каких значениях п абсолютная величина разности | x_n — 1 |
будет меньше 10^—3 ? Чему равен предел  x_n ?

1264. Найти предел каждой из следующих числовых последовательностей:

1265. Сумма внутренних углов правильного многоугольника, имеющего п сторон, вычисляется по формуле

S_n = 180° (п — 2).

1) Вычислить значения семи первых членов числовой последовательности S_n.
2) При каких значениях п величина S_n будет больше 100 000°?
3) Показать, что значения величины S_n при неограниченном увеличении числа сторон (п) многоугольника образуют возрастающую неограниченную числовую последовательность. Как символически это записать?

1266. Исследовать характер изменения членов последовательностей:

1267. Показать, что числовая последовательность с общим членом  неограниченно убывает.

1268. В следующих примерах под знаком предела стоит общий член числовой последовательности. Доказать, что:

1274. В окружность радиуса R вписан правильный n — угольник, и вокруг той же окружности описан правильный п — угольник.

1) Выразить периметры р_n и Р_n этих многоугольников через R и п.
2) На основании выведенных формул доказать, что при неограниченном возрастании п последовательности периметров р_n и Р_n стремятся к одному и тому же пределу.
3) Зная, что , где а —радианная мера угла, доказать, что

 p_n =  P_n = 2πR.

1275. 1) Выразить площади s_n и S_n правильных вписанного и описанного многоугольников через R и п.

2) Используя выведенные формулы, доказать, что при неограниченном возрастании п последовательности площадей s_n и S_n стремятся к одному и тому же пределу.

3) Доказать, что  s_n =  S_n = πR².

ОТВЕТЫ