Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 1. Векторные и скалярные величины

В механике, физике, во многих технических науках изучаются величины разного рода. Одни величины (длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д.) при выбранной единице измерения вполне характеризуются одним числовым значением. Такие величины начинаются скалярными (числовыми).

Другие величины (сила, скорость, ускорение и т. д.) определяются не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие величины называются векторными.

Векторную величину геометрически изображают с помощью отрезка определенной длины и определенного направления. Причем длина отрезка при выбранной единице масштаба равна числовому значению векторной величины, а направление отрезка совпадает с направлением этой величины.

Например, пусть в точке О приложены две силы F₁ и F₂ (рис. 1). Величины этих сил равны, но они имеют разные направления, и поэтому на рисунке они изображены двумя разными направленными отрезками  OA₁^> и OA₂^> одинаковой длины.

Если же величина силы F₁ больше величины силы F₂, то длина отрезка OA₁^>, изображающего силу F₁, должна быть соответственно больше длины отрезка OA₂^>, изображающего силу F₂ (рис. 2).

Из механики известно, что силы, приложенные в одной точке, складываются по правилу параллелограмма. Например, действие сил F₁ и F₂, приложенных в точке О, равносильно действию силы F, которая на рисунке изображается направленной диагональю OA^> параллелограмма ОА₁АА₂ (рис. 3), построенного на направленных отрезках OA₁^> и  OA₂^>. В этом случае пишут F = F₁ + F₂.

Вообще, для изучения векторных величин удобно пользоваться направленными отрезками, для которых по соответствующим правилам введено понятие равенства и определены операции сложения и умножения на число. Такие направленные отрезки называют векторами.