Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 4. Противоположные векторы.  Вычитание  векторов.

Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными. Вектор, протипоположный вектору а, обозначается — а. Следовательно, по определению

а + (— а) = 0.

Из определения следует, что если   а =  AВ^>, то — а = ВА^>, т. е. противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления.

Например, если ABCD — параллелограмм, то векторы AВ^> и СD^> противоположные   (рис.   15).  Векторы   AD^> и СB^>    тоже противоположные.

Для любых двух векторов а и b вектор с = а + (— b) называется разностью векторов а и b и обозначается а — b. Таким образом, по определению

а — b =  а + (— b).

Если а =  OA^> и b =  OB^> (рис. 16), то

а — b = OA^> — OB^> = OA^> + BO^> = BO^>+ OA^> = BA^>.

Следовательно,

OA^> — OB^> = BA^>                          (1)

Из рисунка видно, что BA^> — это направленная диагональ параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ. Другая диагональ OC^> изображает сумму векторов OA^> и OB^>.

Нетрудно заметить, что формулу (1) можно применять, не прибегая к чертежу: для этого достаточно внимательно проследить за порядком расположения букв в записи данных и искомого векторов. Так, например,

                       (2)

Задача.   Дан четырехугольник ABCD такой, что

AD^> = AC^> — AB^>.      

Доказать,    что    ABCD — параллелограмм.                                          

По формуле (2) имеем

  AC^> — AB^> = BC^>.

Следовательно, BC^> = AD^>, и поэтому |BC^>| = |AD^>| и (BC) || (AD). Отсюда следует, что ABCD — параллелограмм (рис. 17).