Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 7. Угол  между двумя  векторами.

Рассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве. В курсе геометрии VI—VIII классов рассматривалось понятие направления на плоскости.

Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление (подобно тому, как любой направленный отрезок вполне определяет вектор, который он изображает). Поэтому направление в пространстве обычно задают при помощи только одного луча.

Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.

Угол между лучами l₁ и l₂ обозначается . По определению угол между двумя    направлениями находится в промежутке [0°; 180°].

Углом между двумя ненулевыми векторами    называется угол между направлениями этих векторов. Угол между векторами а и b (рис. 21) обозначается

Если угол между векторами а и b равен 90°, то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: а _|_ b.

Отметим, что если а  b, то  = 0°, а если а  b, то    =180°.

Рассмотрим некоторую прямую l, на которой выбрана единица   измерения   длины. Пусть А и В — некоторые точки прямой l такие, что |АВ| = 1.

Тогда векторы  AB^> и  BA^> называются единичными векторами прямой l (рис.22).

Единичные векторы прямой задают на ней два направления. Одно из них называется положительным, другое — отрицательным.

Прямая, на которой выбрана точка О (начало отсчета), задано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор е (|е| = 1), задающий направление оси, называется единичным вектором оси (рис. 23).

Углом между вектором и осью, называется величина угла между направлением оси и направлением вектора (рис. 24).