Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 9. Компланарные векторы.

Из курса геометрии восьмилетней школы известно, что прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек или лежит на ней.

Вектор  AB^> назовем параллельным плоскости, если прямая АВ параллельна этой плоскости. Нулевой вектор считается параллельным любой плоскости.

Векторы  a₁, a₂, ..., a_n   называются компланарными, если каждый из них параллелен одной и той же плоскости.

Любые два вектора всегда компланарны.

Очевидно, если три   вектора   компланарны,   то   их можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости.

Рассмотрим сложение трех некомпланарных векторов по так называемому «правилу параллелепипеда».

Пусть векторы а, b и с некомпланарны (рис. 28).

От произвольной точки О отложим векторы  OA^> = а,  OB^> = b и  OC^> = с и построим параллелепипед, для которого [ОА], [ОВ] и [ОС] являются ребрами. Пусть [ОМ]—диагональ    этого    параллелепипеда.    Так   как

OB^> = AD^>,   OC^> = DM^>,

то

OA^> +  OB^> +  OC^> = OA^> + AD^> + DM^> = OM^>,

т. е. а + b + с = OM^>.

Итак, сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Задача. Привести примеры ребер треугольной пирамиды ABCD изображающих: а)   два    коллинеарных вектора; б) три компланарных вектора; в) три некомпланарных   вектора.

Рис. 29.

Рассмотрим изображение пирамиды (рис. 29). Используя определения коллинеарных и компланарных векторов, получим:

а)   никакие два различных ребра пирамиды не могут изображать коллинеарные векторы, так как среди них нет взаимно параллельных;

б)  ребра АС, СВ, ВА (или ребра AD, DC и АС)   изображают три компланарных   вектора    (например,   векторы AC^>, AB^> и  BC^>);

в) ребра DA, DC и DB изображают три некомпланарных вектора (например, векторы DA^>, CD^>, DB^>).