Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 17. Скалярное произведение двух векторов.

В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в  положение   С   (рис.   52)    вычисляется   по   формуле

Эта   формула   вектору   силы   F  и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и BC^>. Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b. Итак, по определению

а • b = | а | •  | b | cos .                       (1)

Если а = b, то скалярное произведение принимает вид  а • a и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a². Очевидно, что a² = а • a = |а|².

Как известно (см. § 16), проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой

np_ab = | b | cos .                           (2)

Используя формулы (1) и (2), можно записать

а • b = | а | np_ab.                           (3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.

Аналогично получается формула а • b = | b | np_ba.

Задача 1. Известно, что | а | = 2, | | b | = ¹/₃ ,   = 150°. Найти а • b .  

По формуле (1) находим

а • b = | а | •  | b | cos = 2• ¹/₃ • 150° = — ^2√3/₉ ^

Задача 2. Найти всевозможные скалярные произведения базисных векторов i и j прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

По определению скалярного произведения

i • j  =  | i | •  | j | cos 90° = 1 • 1 • 0 = 0,

i² = i  • i = | i | •  | i | cos 0° = 1 • 1 • 1 = 1.

Аналогично  j • i = 0,  j² = 1.

Задача 3.  Какой знак имеет скалярное произведение векторов а и b, если
 90° <  < 180°?

Так как в формуле   а • b = | а | •  | b | cos  числа | а | и | b |  неотрицательны, знак  а • b зависит от знака косинуса.

В промежутке ] 90°; 180°] cos  < 0, поэтому а • b < 0.

Задача 4. В каком промежутке находится величина угла между векторами а и b, если   а • b > 0?

Так как а • b > 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0   и cos > 0. Отсюда   [0°; 90° [.