Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 19. Скалярное произведение  векторов, заданных своими координатами

Пусть на плоскости имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и пусть заданы векторы а = (x₁ ; y₁ ) и b = (x₂ ; y₂). Так как

a = x₁i + y₁ j,     b = x₂i + y₂ j,

то, используя соответствующие свойства скалярного умножения векторов, получаем

а • b  = (x₁  + y₁ j) • (x₂i + y₂ j) =  (x₁x₂) i ² + (x₁y₂) i • j + (y₁x₂) j • i+ (y₁y₂) j ².

Очевидно, что i ² = j ² = 1 и i • j  = j • i = 0, поэтому

а • b = x₁x₂ + y₁y₂.                              (1)

Пусть теперь в пространстве имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и заданы векторы

а = (x₁ ; y₁ ; z₁) ,    b = (x₂ ; y₂; z₂).

Аналогично предыдущему получим

а • b = x₁x₂ + y₁y₂+ z₁z₂.                        (2)

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Задача 1. Вычислить а • b , если    а = 2i + 3j,   b = — 5i + j.

а • b = (2i + 3j) • (— 5i + j) = 2 • (—5) + 3 • l = — 7.

Задача 2. Вычислить а • b, если а = (2; —3; 4), b = (5; 7;—1).

а • b = 2 • 5 + (—3) • 7 + 4 • (— 1) = — 15.

Задача   3. Найти длину вектора а = (х; у; z).

Применяя формулу (2) при b = a, получим

а² = а • а = хх + уу + zz = х² + у² + z².

С другой стороны, согласно определению скалярного произведения получаем

а² = а • а =  | а | • | а | cos 0 =  | а | ²

Следовательно,

| а | = √ x² + y² + z²  .