Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 11. Векторное произведение.
§ 12. Основные свойства векторного произведения.
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями.
§ 14. Векторно-скалярное произведение.
§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях.
§ 16. Двойное векторное произведение.

§ 11. Векторное произведение.

Векторным произведением двух векторов А и В называется новый вектор С,

длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах А и В,

перпендикулярный к плоскости этих векторов и

направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от А к В вокруг полученного вектора С представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора С (рис. 102).

Если векторы А и В параллельны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Из этого определения следует, что длина вектора С равна;

С =АВ sin (А,^{^}В),                                     (21)

т. е. произведению длин перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними.

Векторное произведение А на В обозначается символом С = А x В или С = [А;В].

Векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или если эти векторы параллельны (коллинеарны)' ') Параллельные векторы называются также коллинеарными.

В самом деле: если A = 0, или В = 0, или sin (А,^{^}В) = 0, то АВ sin (А,^{^}В) = 0, а потому

А x В = 0.

Обратно, если А x В = 0 и перемножаемые векторы не являются нулевыми, то А || В,   потому   что   из   условия  АВ sin (А,^{^}В) = 0 при А=/=0 и В=/=0 вытекает sin (А,^{^}В) = 0, т. е. А || В. Так как нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору, то мы можем сказать, что векторное произведение равно нулевому вектору в том и только том случае, когда перемножаемые векторы коллинеарны. Таким образом, условие коллинеарности векторов будет:

А x В = 0.                                        (22)

В частности, всегда

А x A = 0,                                       (22')

вследствие чего является излишним вводить понятие о векторном квадрате вектора, в то время как мы рассматривали скалярный квадрат в связи со скалярным умножением.

Замечание. Условие (22) коллинеарности двух векторов А и В возможно заменить следующим:

А = λВ,

где λ — некоторое число (§ 4) (считая В =/= 0).

Если векторы А и В взаимно перпендикулярны, то sin (А,^{^}В) = 1, и, значит, длина вектора-произведения равна произведению длин векторов  сомножителей:

|А x В| = АB,    если    A_|_B.                        (23)

Пример 1  Проверить справедливость равенств i x j = k, k x  j = —  i, где i, j, k суть основные координатные векторы.

Так как векторы i и j направлены по осям координат Ох и Оу, то вектор i x j  будет направлен по оси Оz. С другой стороны, длина этого вектора равна площади прямоугольника, построенного на i и j, т. е. 1. Следовательно,  i x j  = k.

Также очевидно, что k x  j имеет длину, равную единице, и направлен в отрицательную сторону оси Ох, следовательно, k x  j = —  i

Пример  2. Показать, что (А x В)² + (АВ)² = А²В²

Действительно,

(А x В)² = А²В² sin² (А,^{^}В),   (АВ)² = А²В² cos² (А,^{^}В);

складывая, находим:

(А x В)² + (АВ)² = А²В².

В механике важное значение имеет понятие момента силы относительно данной точки.

Если сила F приложена к точке А (рис. 103), то моментом силы F относительно точки О называется вектор М, определяемый формулой

M = r x F,

где  r =  OA^> есть радиус-вектор точки приложения. Из определения векторного произведения следует,что величина момента равна величине силы, умноженной  на  расстояние ОР точки О от прямой, вдоль которой действует сила.

§ 12. Основные свойства векторного произведения.

1.  При  перестановке   сомножителей   векторное   произведение умножается на (— 1), т. е.

В x А = — (А x В).                                 (24)

В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы  А x В    и   В x А  имеют одинаковые длины и коллинеарны.

Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А x В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор В x А  должен быть направлен в противоположную сторону.

Заметим еще, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство (24) очевидно, так как тогда    А x В    и   В x А — нулевые векторы.

2. Векторное  произведение обладает свойством сочетательности относительно  числового   множителя;   это  свойство  выражается следующими формулами:

λ(А x В) = λА x В    и   λ(А x В) = А x λВ,              (25)

т. е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

Обе формулы (25) доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем λ > 0.

Для доказательства равенства векторов λ(А x В) и λА x В заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:

|λ(А x В)| = λ|А x В| = λAB sin (А,^{^}В),

| λА x В | = | λА | В sin (λА,^{^}В) = λAB sin (А,^{^}В).

Направления же векторов λ(А x В) и λА x В совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.

3. Векторное   произведение   подчиняется   распределительному закону, т. е.

(A+ B) x C = A x C + B x C                    (26)

Для доказательства заметим сначала, что произведение A x C⁰ где C⁰ — единичный вектор, можно построить так (рис. 104).

Спроектируем   вектор   А= OA^>  на плоскость, перпендикулярную к  C⁰, и полученную вектор-проекцию OA₁^> повернем в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 90° (если смотреть на плоскость с конца вектора C⁰).

Полученный вектор OA₂^> и равен A x C⁰. В самом деле,

а)  ОA₂ = ОA₁ = A cos (90° — φ) = A sin φ

где φ — угол между векторами A и C⁰;

б)   вектор OA₂^> перпендикулярен к   векторам A и C⁰ и направлен в ту сторону,   из   которой кратчайшее вращение от А к C⁰  представляется совершающимся против часовой стрелки.

Итак,  OA₂^> = A x C⁰.

Пусть   теперь   даны   единичный    вектор   C⁰,   перпендикулярная к нему плоскость р и треугольник ОА₁В₁ (рис.  105), в котором

OA₁^> = А,  A₁B₁^> = B

и

OB₁^> = A + B.

Спроектируем   /\ ОА₁В₁   на   плоскость   р  и  повернем проекцию OA₂B₂ в плоскости р по часовой стрелке на 90°.

Получим /\ ОА₃В₃, в котором по предыдущему

OB₃^> =   (A + B) x C⁰,   OA₃^> = A x C⁰,   A₃B₃^> = B x C⁰.

Так как

OB₃^> = OA₃^> + A₃B₃^> ,

то

(A+ B) x C⁰ = A x C⁰ + B x C⁰                   (27)

Заметив, что С = СC⁰ , умножим теперь обе части равенства (27) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:

(A+ B) x СC⁰ = A x СC⁰ + B x СC⁰ ,

или

(A+ B) x C = A x C + B x C,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Показать, что (А — В) x (А + В) = 2 (А x В), и выяснить геометрический смысл эгого равенства, изображая векторы А — В и A + В диагоналями параллелограмма.

В самом деле:

(А — В) x (А + В) = А x А — В x А + А x В — В x В = В x А + А x В =

= А x В + А x В = 2(А x В).

Геометрически  это  значит,   что   удвоенная   площадь   параллелограмма   равна площади параллелограмма, построенного на его диагоналях.

Пример 2.    Пусть вершины треугольника ABC заданы своими радиусами-векторами  A (r₁), В (r₂), С(r₃). Найти вектор S, представляющий треугольную площадку ABC, на которой задано направление обхода контура от А к В и от В к С, т. е. найти вектор, длина которого численно равна площади данного треугольника, а направление перпендикулярно к его плоскости (причем вектор должен быть направлен в ту сторону, откуда заданный   обход   контура   треугольника   кажется   происходящим   против   движения часовой стрелки).

Так как AB^> = r₂ — r₁,  BC^> = r₃ — r₂,  то  искомый   вектор   S будет:

S = ¹/₂(r₂ — r₁) x (r₃ — r₂) = ¹/₂(r₂ x r₃) — ¹/₂(r₁ x r₃) — ¹/₂(r₂ x r₂) + ¹/₂(r₁ x r₂) =

= ¹/₂(r₂ x r₃ + r₃ x r₁ + r₁ x r₂).

§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

Обозначая через Х₁, Y₁, Z₁ проекции вектора А, а через Х₂, Y₂, Z₂ проекции вектора В, выразим через них векторное произведение А на В:

А x В = ( Х₁i  + Y₁ j + Z₁k ) х (Х₂i  + Y₂ j + Z₂k).

По   свойству   распределительности   суммы  векторов  умножаются как многочлены. Следовательно, получаем:

А x В = Х₁Х₂ (i x i ) + Y₁Х₂ ( j x i ) + Z₁Х₂ ( k x i ) +                             

+  Х₁Y₂ (i x j ) + Y₁Y₂ ( j x j ) + Z₁Y₂ ( k x j ) +                     

+  Х₁Z₂ (i x k ) + Y₁Z₂ ( j x k ) + Z₁Z₂ ( k x k )               (28)

Так как i, j, k представляют три взаимно перпендикулярных единичных вектора и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся   против   часовой   стрелки   (см. рис.  106), то

следовательно, в полученном выражении (28) для А x В пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:

А x В = (Y₁Z₂ — Y₂Z₁) i + (Z₁Х₂ — Z₂Х₁) j + (Х₁Y₂ — Х₂Y₁) k.     (30)

Формулу   (30)   можно   записать   также   в   символической,   легко запоминаемой форме,   если   воспользоваться   понятием   определителя 3-го порядка  :

               (31)

Для   практических   вычислений   можно   рекомендовать  такой порядок:

1)  составляем   таблицу из двух строк и трех  столбцов,   подписывая   проекции множителя под проекциями множимого:

2)    для    получения    первой   проекции произведения   закрываем   в этой   таблице первый   столбец и вычисляем   оставшийся определитель    2-го   порядка;   

чтобы   получить   вторую   проекцию   произведения, закрываем второй столбец и оставшийся определитель берем с обратным знаком;

наконец, для получения третьей проекции произведения закрываем в нашей таблице третий столбец и берем оставшийся определитель 2-го порядка со своим знаком.

Например, если сомножители суть А{3, 4, 8}, В {5, 1, 7}, то, пользуясь таблицей

находим проекции А x В : 20,  19, —17.

Заметим, что в силу (30) условие (22) А x В = 0 параллельности векторов A{Х₁, Y₁, Z₁} и B{Х₂, Y₂, Z₂} может быть выражено равенствами

Y₁Z₂ — Z₁Y₂ = 0,          Z₁X₂ — X₁Z₂ = 0,        X₁Y₂—Y₁X₂ = 0,    (32)

или

             (32')

т. е. если векторы коллинеарны, то их проекции пропорциональны, и обратно.

Заметим, что переход от (32) к (32') мы могли сделать, лишь если ни одно из чисел Х₂, Y₂, Z₂  не обращалось в 0. Однако в силу того, что равенства (32') имеют значительно более простой вид и постоянно применяются в дальнейшем, мы будем писать их даже и в тех случаях, когда некоторые из знаменателей равны 0. Такую запись нужно понимать, конечно, не буквально (так как на 0 делить нельзя), а условно, просто как удобную сокращенную форму записи равенств (32). Таким образом, (32') будет в дальнейшем означать то же самое, что и (32).

Так, например, равенства

показывают, что 2Y₁ = 0 • Z₁, 0 • Z₁ = 2X₁, 0 • X₁= 0 • Y₁ , т е. что X₁ = 0 и  Y₁ = 0.

Пример 1. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках
А(х₁ , у₁ , z₁), B(х₂ , у₂ , z₂), С(х₃ , у₃ , z₃).

Так как вектор AB^> имеет проекции х₂ — х₁, у₂ — у₁ , z₂ — z₁ , а вектор AC^> имеет проекции х₃ — х₁, у₃ — у₁ , z₃ — z₁  , то

Пример 2. Определить синус угла А треугольника ABC с вершинами A(1, 2,3), В (3,4, 5), С (2, 4, 7).

Так как векторы AB^> и AC^> имеют соответственно проекции 2, 2, 2 и 1, 2, 4, то                                 

угол   следует   взять  острым,   если   ВС² < АВ² + AС²,   и тупым,   если ВС² >  АВ² + AС². В данном случае угол А острый.

§ 14. Векторно-скалярное произведение.

Выясним, что можно сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно два вектора А и В, то их произведение будет скаляром. При умножении третьего вектора С на этот скаляр мы получим вектор, коллинеарный вектору С.

Совсем иное дело будет, если мы перемножим два вектора векторно; в результате мы получим снова вектор А x В. Представляется интересным исследовать дальнейшие произведения, как скалярное, так и векторное, этого вектора на новый вектор С. В первом случае мы будем иметь векторно-скалярное произведение (А x В)С, а во втором случае двойное векторное произведение
(А x В) x С.

Векторно-скалярное произведение  (А x В)С называется также смешанным произведением и обозначается (ABC) или ABC.

Для приложения векторно-скалярного произведения весьма важным является уяснить себе его геометрический смысл. Пусть рассматриваемые векторы А, В и С некомпланарны. Векторное произведение Е = А x В есть вектор Е, по длине численно равный площади параллелограмма OADB, построенного на векторах А и В, и направленный   перпендикулярно   к   плоскости   параллелограмма   (рис.  107).

Скалярное произведение (А x В)С = ЕС есть произведение длины Е первого множителя на проекцию второго вектора С на первый. Эта проекция С₁, как проекция вектора С на перпендикуляр к плоскости равна расстоянию точки С (конца вектора С) от плоскости параллелограмма  OADB, взятому со знаком  + или —.

Построим параллелепипед на векторах А, В, С как на ребрах. Высота этого параллелепипеда есть абсолютная величина нашей проекции С₁, а площадь основания — параллелограмма OADB— численно равна длине вектора Е.

Итак, произведение ЕС = EС₁ по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т. е. измеряет объем параллелепипеда.

При этом важно отметить, что наше скалярное произведение дает   объем   параллелепипеда   иногда   с   положительным,  а  иногда с отрицательным знаком.

Положительный знак получается, если угол между векторами Е и С острый; отрицательный — если он тупой. При остром угле между Е и С вектор С расположен по ту же сторону плоскости OADB, что и вектор Е, и, следовательно, из его конца С вращение от А к В будет видно так же, как и из точки Е, т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки). При тупом угле между Е и С вектор С расположен по другую сторону плоскости OADB, чем вектор Е, и, следовательно, из его конца С вращение от А к В будет видно в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Иными словами, произведение (ABC) положительно, если векторы А, В и С образуют систему, одноименную с основной (взаимно расположены так же, как оси х, у, z), и оно отрицательно, если векторы А, В и С образуют систему, разноименную с  основной.

Итак, мы получили следующую теорему.

Векторно-скалярное произведение (ABC) = (А x В) С трех некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах А, В, С, как на ребрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В, С образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном случае.

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина произведения (ABC) = (А x В) С  останется та же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители А, В, С. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других— отрицательным; это зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему, одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла (рис.  108).

Порядок следования не нарушится, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же направлении, т. е. против часовой стрелки. При этом наши множители переставляются в круговом порядке. Таким образом, получаем теорему:

Круговая перестановка трех сомножителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения:

(ABC) = (ВСА) = (CAB)  = — (ВАС) = — (СВА) = — (АСВ).          (33)

При   каких    условиях   векторно-скалярное   произведение   может обратиться  в   нуль?  Очевидно:  

 а)   если   среди   сомножителей   есть хотя бы один нулевой вектор;

б) если по крайней мере два из перемножаемых векторов коллинеарны (и, следовательно, их векторное произведение равно нулевому вектору), в частности:

(ААВ) = (АВА) = (ВАА) = 0;                           (34)

в) если три вектора А, В, С компланарны (параллельны одной и той же плоскости), потому что   тогда   А x В _|_ С   и, следовательно:

(А x В)С = 0.

Объединяя все три случая, можем сказать, что (АBС) = 0, если векторы А, В, С компланарны. Обратно, пусть (АВС) = 0. Тогда, если никакой из векторов не является нулевым и никакие два из векторов не коллинеарны, А x В и С должны быть перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю, а так как, кроме того, А x В перпендикулярен к А и В, то векторы А, В, С компланарны. Следовательно, можно утверждать, что равенство

(АВС) = 0                                           (35)

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов А, В, С.

Отсюда, в частности, следует, что формулы (33), доказанные для некомпланарных векторов, остаются справедливыми и в случае их компланарности.

Пример 1. Показать, что объем треугольной пирамиды равен ¹/₆ абсолютной величины векторно-скалярного произведения, составленного из трех векторов-ребер, выходящих из одной вершины.

В самом  деле, объем  треугольной  пирамиды   ABCD  можно рассматривать как  ¹/₆  объема параллелепипеда, построенного на векторах AB^>, AC^>,  AD^>,   как на ребрах:

объем ABCD = ¹/₆|(AB^> AC^> AD^>)|.

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении

((А + В) (В+С) (С + А)).

Это выражение представляет [(А + В) x (В + С)] (С + А).

Векторное произведение будет равно:

А x В + В x В + А x С + В x С = А x В +  А x С + В x С

Умножая его скалярно на (С + А), получим:

(А x В) С + (А x С) С + (В x С) С + (А x В) А + (А x С) А + (В x С) А =

= (А x В) С + (В x С) А = (ABC) + (ВСА) = (ABC) + (ABC) = 2 (ABC).

§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях.

Обозначая через Х₁, Y₁, Z₁ проекции вектора А, через Х₂, Y₂, Z₂ проекции вектора В и через Х₃, Y₃, Z₃ проекции вектора С,   найдем сначала проекции векторного произведения А x В. Согласно формуле (30) эти проекции будут:

Зная теперь проекции первого сомножителя А x В и проекции Х₃, Y₃, Z₃, второго сомножителя С, найдем по формуле (15) их скалярное произведение:

Но правая часть этого равенства есть не что иное, как разложение определителя третьего порядка

по элементам последней горизонтали. Итак, окончательно мы будем иметь:

                       (36)

т. e. векторно-скалярное произведение трех векторов, заданных своими проекциями, равно определителю 3-го порядка, составленному из этих проекций.

При этом следует помнить, что в 1-й, 2-й и 3-й строках определителя пишутся в обычном порядке проекции 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых векторов.

Пользуясь формулой (36), мы видим, что условие (35), необходимое и достаточное для компланарности векторов А {Х₁, Y₁, Z₁}, В {Х₂, Y₂, Z₂}, С {Х₃, Y₃, Z₃}, запишется в виде:

                                      (37)

Пример  1. Вычислить (ABC), если A{3, 4, 2}, В {3, 5, — 1}, С {2, 3, 5}.

Пользуясь формулой (36), находим:

Пример  2.  Вывести условие   того,  чтобы   четыре точки A (x₁, y₁, z₁), В (x₂, y₂, z₂), С (x₃, y₃, z₃), D (x₄, y₄, z₄), лежали в одной плоскости.

Искомое   условие   равносильно   условию   компланарности   векторов AB^>, AC^>, AD^> и, следовательно, согласно формуле (37) может быть записано в виде:

Пример   3.  При тех  же  обозначениях,   что  и  в  примере  2,   объем   V треугольной пирамиды ABCD выражается формулой

В самом деле, согласно примеру 1 из § 14 мы имеем:

V  = ¹/₆|(AB^> AC^> AD^>)|.

Так как векторы AB^>, AC^>, AD^> имеют соответственно проекции x₂— x₁, y₂ — y₁, z₂ — z₁; x₃— x₁, y₃ — y₁, z₃ — z₁ ; x₄— x₁, y₄ — y₁, z₄ — z₁,  то находим:

где знак берется одинаковый со знаком определителя.

§ 16. Двойное векторное произведение.

Мы рассмотрели векторно-скалярное произведение; теперь перейдем к векторно-векторному произведению

(А x В) x С.

В первом случае мы получили прекрасное геометрическое истолкование произведения; здесь же мы дадим формулу, значительно облегчающую вычисление. Эта формула имеет вид:

(А x В) x С = В (АС) — А (ВС).                         (38)

Обозначая искомый результат через D, найдем его проекции D_x, D_y, D_z. С этой целью сначала определяем проекции вектора А x В  и получаем по формуле (30):

(А x В)_x = А_yВ_z — A_zB_y    

(А x В)_y = А_zВ_x — А_xВ_z,

(А x В)_z= A_xB_y— A_yB_x   

Далее, применяя ту же формулу (30), находим:

D_x= (А x В)_yС_z — (А x В)_zС_y  =

= (А_zВ_x — А_xВ_z) C_z — (A_xB_y— A_yB_x) С_y =

= В_x (А_yС_y + A_zC_z) — А_x (B_yC_y + B_zC_z).

Прибавив и вычтя по А_xВ_xС_x, получим:

D_x = В_x (А_xС_x + А_yС_y  + A_zC_z) — А_x  (В_xС_x + B_yC_y + B_zC_z).

Более кратко последнее выражение запишется так:

D_x  = В_x (AC) — А_x(BC).

Аналогичные формулы  получаются и для  двух других проекций:

D_y = В_y (AC) — А_y (ВС),   

 D_z = B_z (AC) — A_z (ВС).

Зная проекции вектора D, пишем самый вектор D:

Внося вместо D_x, D_y, D_z только что полученные значения, имеем:

D = (B_xi + В_y j + В_zk) (АС) — (A_xi + А_y j + А_zk) (ВС),

или

D = В (АС) — А (ВС).

Заменяя, наконец, D его значением, найдем требуемую формулу (38).

Заметим, что в двойном векторном произведении весьма важно различать порядок перемножения. Так, например, вычисляя А x (В x C) мы получим совершенно другой вектор, а именно:

А x (В x C)  = — (В x C) x А = (С x В) x А = В (АС) — С(АВ).

Итак, получается формула

А x (В x C)  = В (АС) — С(АВ).                       (39)

Из сопоставления формул (38) и (39) можно вывести следующее правило для запоминания разложения двойного векторного произведения:

Двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух других.

При круговой перестановке векторов А, В, С формула (38) приводит к трем разным векторам:

(А x В ) x C = В(АС) —А(ВС),

(В x C) x А = С(ВА) — В(СА),

(С x А) x В = А(СВ) — С(АВ).

Складывая вместе эти три равенства, получим тождество

(А x В ) x C + (В x C) x А + (С x А) x В = 0.          (40)

Одно из применений формулы (39) состоит в выводе разложения данного вектора В на две компоненты, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору А. В самом деле, положив в формуле (39) С = А, найдем:

А x (В x А) = В (АА) — А (АВ) = В (А²) — А (АВ).

Решая это уравнение относительно В, получим:

Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен вектору А, а второй перпендикулярен к нему.

Формула (41) для разложения упрощается, если А есть единичный вектор. Тогда А = 1  и формула (41) примет вид:

В = (АВ)А + А x (В x А).                      (42)

Мы разобрали два случая произведений трех векторов; они играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и большего числа векторов могут  быть  сведены к низшим   произведениям.

Пример   1. Показать, что если a _|_ b, то

a x {a x [a x (a x b)]} = a⁴ b.

В самом деле:

a x (a x b) = а (аb) — b (аа)  = — ba².

Умножая пекторно слева на а, получим:

a x [a x (a x b)] = — a² (a x b) = a² (b x а).

Повторяя ту же операцию, найдем:

a x {a x [a x (a x b)]} = a²[a x  (b x а)] = a²b (аа) — a²а (аb) =  a⁴ b

что и нужно. Читателю рекомендуется проверить этот результат геометрически.

Пример   2. Вычислить (a x b) (c x d)

Обозначая временно (c x d)  = e, произведем в векторно-скалярном произведении  (a x b) е перестановку; тогда получим:

(a x b) (c x d)  =  (a x b)е = а (b x е) = а[b x (c x d)] =

= а [с (bd) — d (bc)] = (ас) (bd) — (ad) (bc),

или

В частности, при d = a найдем: (a x b) (a x с)  = a²(bс) — (ab)(ac).