Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 22.  Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами.

Найдем выражение для векторного произведения двух векторов через прямоугольные декартовы координаты этих векторов.

Пусть векторы а = (х₁; у₁; z₁)  и  b = (х₂; у₂; z₂) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой (это для определенности всегда будет предполагаться и в дальнейшем).

Разложим а и b по базисным векторам:

а = x₁i + y₁ j + z₁k,     b = x₂i + y₂ j + z₂k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

[а; b] = [x₁i + y₁ j + z₁k ; x₂i + y₂ j + z₂k] =

= x₁x₂ [i; i] + x₁y₂ [i; j] + x₁z₂ [i; k] +

+ y₁x₂ [j; i] + y₁y₂ [j; j] + y₁z₂ [j; k] +

+ z₁x₂ [k; i] + z₁y₂ [k; j] + z₁z₂ [k; k].      (1)

По определению векторного произведения находим

[i; i]  = 0,         [i; j] = k,           [i; k]= — j,

[j; i] = — k,      [j; j]  = 0,          [j; k]  = i,

[k; i]  = j,          [k; j] = — i.      [k; k] = 0.

Учитывая эти равенстза, формулу (1) можно записать так:

[а; b] = x₁y₂k — x₁z₂ j — y₁x₂k + y₁z₂ i + z₁x₂ j — z₁y₂i

или

[а; b] = (y₁z₂  — z₁y₂) i + (z₁x₂  — x₁z₂ ) j + (x₁y₂ — y₁x₂) k.   (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученная формула громоздка и запоминается с трудом. Используя обозначения определителей (Алгебра и начала анализа, ч. I, § 10), можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:

Обычно формулу (З)  записывают еще короче:

считая, что правая часть формулы (3) формально получена из правой части формулы (4) по правилу разложения определителя по первой строке.

Отметим еще, что в частном случае, когда векторы а и b лежат в плоскости векторов i и j формула (4) упрощается:

Задача 1. Найти векторное произведение [а; b]  векторов а = (2; 3; —4) и b = (5; 1; 2).

Непосредственной подстановкой координат векторов а и b в формулу (4) получаем

Следовательно, [а; b]  = 10i — 24j — 13k.

Задача   2. Найти длину вектора [а; b], если а = (2; 3) и b = (—1;7).

Применяем формулу (5):

Следовательно, | [а; b] | = |17k| = 17.