Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

Задачи к главе I

1.1.  По данным векторам а и b постройте следующие векторы:

а) b — а; б) — b — а; в) 2а — b; г) ¹/₂а — 2b; д) — ¹/₅а

1.2.  На рис. 66 окружность разделена на три, четыре или шесть конгруэнтных дуг. Найдите в каждом случае сумму изображенных на рисунках векторов.

1.3.  Для векторов а, b, с,  изображенных на  рис. 67, найдите   сумму а + b + с.

1.4.  На материальную точку действуют две силы F₁ и F₂. Найдите  величину  их   равнодействующей,   если  | F₁ |=8H,   | F₂ | = 6Н  и (F₁;^{^} F₂) = 90°.

1.5.  Начертите  любой  пятиугольник  ABCDE и  найдите  сумму векторов AB^>, BC^>,   CD^>, DE^>, EA^>.

1.6.  К центру правильного шестиугольника приложены три силы, направленные в три последовательные вершины. Найдите величину   равнодействующей,   если   величина   каждой   из   данных   сил равна 1Н.

1.7.  Найдите равнодействующую трех сил, приложенных в точке   М,   если   известно,   что   эти   силы   изображаются   векторами MA^>, MB^>, MC^> где точки А, В, С являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность с центром О (рис. 68).

1.8.  Докажите, что из медиан любого треугольника можно построить треугольник.

1.9. Дан тетраэдр ABCS. Найдите сумму векторов: 
а) AB^> + BC^> + CS^>;
б) AC^> + CS^> + SA^> + AB^>.

1.10.  Дана    правильная    четырехугольная    пирамида    ABCDS (S — вершина,  О — основание высоты).  Докажите, что сумма  векторов  OS^>, DS^>, BC^>, SB^>, AO^> равна сумме векторов  AS^>, AD^>, AB^>, DA^>.

1.11.  Пусть а = kb (а =/= 0). При каких значениях k :
а) | а | = | b |; б) | а | > | b |; в) | а | < | b |?

1.12.  Определите  значения  k,  при  которых  длина   вектора  ka (а =/= 0): а) равна длине вектора а; б) больше |3а|; в) меньше |5a|.

1.13.  Определите число, на которое нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор b такой, что: а)   | b | = 5 и a  b; б)  | b |  = 1 и а  b.

1.14.  На прямой взяты последовательно три точки М, N и Р; точка А  является  серединой  отрезка  MN,  а  точка В — серединой отрезка NP. Выразите вектор AB^> через вектор PM^>.

1.15.  На прямой взяты три точки А, В, С так, что  CA^> = 3CB^> Выразите вектор AB^> через вектор CB^>.

1.16. В   прямоугольнике ABCD проведены диагонали: DB^> = a ; AC^> = b.     Представьте векторы  BC^>, CB^>, BD^>, AD^> + CD^>  в виде линейной комбинации векторов а и b.

1.17. В   параллелограмме  ABCD:  AB^> = a, AD^> = b,   О — точка пересечения диагоналей. Разложите векторы BO^>, OB^>, AC^> и CO^>    по векторам а и b.

1.18. В   равнобедренной   трапеции  ABCD   величина   угла   BAD равна 60°,
 |АВ | = | ВС | = | CD | = 2. Точки М и N — середины сторон ВС и DC. Разложите векторы AB^>, CD^>, BC^>, AM^>, AN^> и  MN^> по  векторам

1.19.  На  окружности  с центром  О даны точки А   и  В.   Касательные к окружности   в этих точках пересекаются в точке С. Разложите вектор OC^> по векторам OA^> и OB^>, если: а)  = 60°; б)  =90°.

1.20.  Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.   Найдите разложение по  векторам   а = AB^>, b = AD^>,  с = AA₁^> векторов:   а) AC₁^>,  6) AB₁^>; в) D₁C₁^>, г) B₁D₁^>: д) BC^>; е) C₁C^>; ж) B₁D^>;  з) B₁O^>, где О — центр куба.

1.21.  Дан   треугольник   ABC.   Взяв   за    базис   векторы   е₁ = AB^>, е₂ = AC^>, найдите координаты векторов  AM^>, BN^>, CP^> в этом базисе. Точки М, N, Р — середины сторон ВС, АС, АВ треугольника.

1.22.  Дан  правильный  шестиугольник ABCDEF.  
Взяв за  базис вектеры е₁ = AF^>, е₂ = AC^>, найдите координаты следующих   векторов: а)  AB^>; б) BC^>; в) CD^>; г) DE^>; д) EF^>; е) AD^>; ж) AE^>; з) FC^>; и) DB^>; к) BE^>.

1.23.  На плоскости дан правильный шестиугольник. Разложите по ортам  i   и  j   все   векторы,   изображенные   на   рис.   69,   если | OE^> | = 4.

1.24. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 70) точки М, N, Р, Q, R, S, T - середины ребер.

За базис приняты векторы i = BA^>,  j = BC^>, k = BB₁^>. разложите по базису i, j, k следующие векторы: а) DT^>; б) AB₁^>; в) NP^>; г) PQ^>; д) QS^>; е) B₁D^>; ж) RM^>; з) RN^>

1.25 В прямоугольной декартовой системе координат даны точки
А (3; — 1; 2) и  В (—1; 2; 2). Найдите координаты векторов AB^> и BA^>,   их длины и координаты единичного вектора, направленного так же, как и вектор BA^>.

1.26.  Дан   вектор   а = 2i — 3j + 4k.   Найдите   вектор b,   если | а | = | b |, абсцисса вектора b равна ординате вектора а, а ордината вектора b равна нулю.

1.27.  Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
а = i + j  и b = k — 2j.

1.28.  Найдите  проекцию  вектора  а на  направление  вектора b и проекцию  вектора  b на  направление вектора а, если   | а | = 2, | b | = 1,   (a;^{^}b) = 120°.

1.29.  Найдите скалярное произведение векторов а и b,   если | а | = 4, | b |= 6 и  (a;^{^}b)   равен: а)  45°; б)  0°; в)   135°; г)  90°; д) 180°.

1.30.  Угол   между   векторами   а   и   b   равен   120".   Зная,   что  | а | = 5, | b | = 4, вычислите:   а) а • b; б) а²; в) (а — 2b) • (а + 2b)   г) (а —  b)²; д) (7а + b)².

1.31.  Вычислите:

а)  i • (j + k) + j •  (3 — k) + k • (i + 2j);

б)  i  •  (i +j + k) + j •  (i +j + k) + k  •   (i +j + k).

1.32.  Вычислите  a • b + b • c + c • a,  если a + b + c = 0  и   |a| = |b| = |c| = 1

1.33.  Даны векторы а = (4; —2; 0) и b = (1; 2; 3). Вычислите: а) а • b; б) b²; в) (а —  b)²; г) (3а — b) • (2а + 3b) .

1.34.  Дан вектор a = (3; —4). Найдите координаты единичных векторов, перпендикулярных вектору а.

1.35.  Дан   вектор   с = (4;   —7).   Найдите   координаты   какого-либо вектора, перпендикулярного вектору с. Сколько решений имеет задача?

1.36.  Дан вектор а = (1; 2; —3). Известно, что абсцисса перпендикулярного ему вектора b равна 3, а ордината равна 6; требуется найти аппликату вектора b.

1.37.  Дан вектор a = (3; —4). Известно, что абсцисса перпендикулярного   ему   вектора   b  равна  8;   определите  ординату  вектора b.

1.38.  Дан вектор a = (5; 3). Известно, что ордината перпендикулярного ему вектора b равна 10; определите абсциссу вектора b.

1.39.  Найдите   значение   α,   при   котором   следующие   векторы взаимно перпендикулярны:

а)  a = αi + 3j + 4k   и   b = 4i + αj — 7k;

б)  a = (α; — 3; 2)   и    b = (1; 2; — α);

в)  a = (0; — 2; 7)    и   b = (α; 14; 4).

1.40.   Найдите   значения   α  и β,   при   которых   векторы   а =  (3;   —1;  α)    и   
b = (2;   β;    1)    взаимно   перпендикулярны, если | b | = 3.

1.41.  В плоскости хОу найдите вектор b, перпендикулярный вектору а = 3i — 4j + 5k, если | b | = | а |.

1.42.  Даны два вектора: а = (3; — 1; 5) и b = (1; 2; — 3). Найдите вектор х, перпендикулярный оси Оz и удовлетворяющий условиям x • a = 9, x • b = —4.

1.43.  Найдите вектор b, коллинеарный  вектору а и удовлетворяющий данному условию:

а)   а = 2i + j — k,  b • a = 3;

б)  а = (—1; 2; 2), b • a = —2.

1.44.  Найдите вектор b, длина которого равна 50, коллинеарный вектору а и образующий острый угол с заданной осью:

а)  а = 2i — 3j — 6k, ось Ох;

б)  а = (6; — 8; — 7,5), ось Oz.

1.45.  Даны три вектора: а = (2; —1;  3), b = (1; —3; 2), с =  (3;  2; —4).   Найдите   вектор    х,    удовлетворяющий    условиям x • a = —5, x • b = —11, x • c = 20.

1.46.  Найдите   косинус   угла   между   вектором  а = (3;   —4)   и осью Ох.

1.47.  Найдите косинусы углов между вектором а = (3; —4; 12) и осями координат.

1.48.  Найдите  угол  между диагоналями  параллелограмма,  построенного на векторах а = 2i + j   и   b = — j + 2k.

1.49.  Определите   угол   между  вектором   а =AB^> + CD^>   и   осью абсцисс, если
А (—2; 3), В (0; 8), С (5; 3) и D (10; 5).

1.50.  Определите угол между векторами:  a)   i и j + k;  б)  j и i — k; в) k и 2 j — 3k.

1.51. В треугольнике с вершинами A (5; 0; 0), В (1; 1; 1) и С (3; — 1; 2) найдите величины углов.

1.62. Даны три последовательные вершины параллелограмма:
А (—3;  —2;  0), В (3; —3;   1)   и С (5;  0;  2).  Найдите четвертую вершину D и угол между векторами AC^> и BD^>.

1.83. Дан треугольник с вершинами в точках А (3; —2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Вычислите угол между медианой [BD] и стороной [АС].

1.54. Дан четырехугольник с вершинами в точках А (2; —3; 1), В (1; 4; 0), С (—4; 1; 1) и D (— 5; —5; 3). Найдите угол между диагоналями [АС] и [BD] .

1.55.  Дан  треугольник  с   вершинами  в  точках А (—1;  4; 1), В (3;  4;  —2)   и С (5;  2; —1).  Вычислите косинус угла  при вершине В.

1.56.  Даны векторы   а =(—2; 1; 1), b = (1; 5; 0), с = (2;2;—1).
Вычислите:   а) пр_b а;   б)   пр_а b;   в) пр_а+b с;       г) пр_а (b + с); д) пр_а (2b + с).

1.57.  Выясните,   правой   или   левой   является   тройка   векторов а, b, с, если:

а)  a = — i — j, b =  j, c = k;

б) a  =  i — j,  b =  j, c = i + j;

в) a = i — j, b = i + j, c = k

(i, j, k  образуют правую тройку).

1.58. Найдите вектор [а; b] и изобразите его, если:

а)  а = 2i, b = 3j;

б)  а = 3i — 2k, b = 4k;

в)  а = i + j + k, b = 2i — 3j + 4k.

1.59.  Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (3; 4) и b = (4; — 3).

1.60. Даны векторы a = (1;—2; 3), b = (2; 2; — 1),c = (0;1; — 2),  d = (2; — 1; 0).
Вычислите: а) [а; b]; б)  [а; c]; в) [b; c]; г) [а; d]; д) [(a + b); с];  е)  [(a — b); с];
ж) [(a + b); (d — c)]; з) [(а + 2d); с]; и) [(2a—3b); (c + d)]; к) [(a — b); (3c + 2d)].

1.61.  Найдите   площадь   треугольника   с   вершинами   в   точках А (0; 2; 6), В (4; 0; 0) и С (8; —2; 0).

1.62.  Даны вершины параллелограмма: А (1; —2), В (—2; 2), С (4; 10) и D (7; 6). Вычислите его площадь и высоты.

1.63.  Сила F = 2i — 3j + 4k приложена к точке M (1; 5; —2). Найдите величину момента силы F относительно начала координат.

1.64.  Векторы  r₁,  r₂,  r₃,  образующие  правую  тройку,  взаимно перпендикулярны. Зная, что  | r₁ | = 7,   | r₂ |  = 5,   | r₃ |  = 6, вычислите (r₁;  r₂;  r₃).

1.65.  Докажите, что  (r₁ + r₂; r₂ +r₃; r₃ + r₁) = 2(r₁;  r₂;  r₃).

1.66.  Докажите, что векторы r₁,  r₂,  r₃, удовлетворяющие условию
[r₁;  r₂] + [r₂;  r₃] + [r₃ ; r₁] = 0, компланарны.

1.67.  Вычислите  объем  параллелепипеда,  построенного  на  векторах   r₁ = a + b + с, r₂ = a — b + с   и   r₃ = a — b — с.

1.68.  Покажите, что объем параллелепипеда, построеннного на диагоналях граней данного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.

1.69.  Найдите смешанное произведение (а; b; с) векторов а = (0; 3; —1), b =(5; 0; 0),
с = (7; —2; 4).

1.70.  Установите,  компланарны ли  векторы а = (8;  5;  —13), b = (— 4; 2; 8),
с = (4; 7; —4); если векторы некомпланарны, то какую они образуют тройку правую или левую.

1.71. Установите, компланарны ли векторы
а = (—2; —1; —3), b = (—1;4; 6), с = (1;5;9).

1.72.  Найдите  объем  параллелепипеда,  построенного на  векторах
а = (1; 2; 3), b = (— 1; 3; 4), с = (2; 5; 2).

1.73.  Центр   тяжести   однородного   стержня   находится в  точке М (2;  —4), один из его концов в точке A (—1;   1). Найдите  координаты другого конца стержня.

1.74.  Дан треугольник с вершинами в точках A (2; —5), В (1; —2) ; и С (4; 7). Найдите точку пересечения биссектрисы /  B со сторoной AС.

1.75.  Докажите, что если  в  правильной треугольной  пирамиде SABC вершину А соединить с точкой М пересечения медиан противолежащей грани, то (AM)_|_.(BC).

1.76.  В треугольнике ABC точки A₁, В₁ и C₁  — середины сторон ВС, АС, АВ, Докажите, что у треугольников ABC и A₁B₁C₁ точки пересечения медиан совпадают.

1.77.  Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения   продолжений   ее   боковых   сторон   принадлежат   одной нрямой.

1.78.  Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырехугольника  ABCD.  Докажите, что  середины диагоналей четырехугольников  AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.

1.79.  Вычислите  работу,   совершаемую  равнодействующей двух сил F₁ (5; — 1; 3) и F₂ (—3; —2; 4) при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В (10; 8; —2)  в положение С (9; 4; 1).

1.80.  Сила F = 3i + k приложена к точке A (2;  1; 4). Найдите момент и  величину момента этой силы относительно точки O (2; —1; 3).

1.81.  К материальной точке приложены две силы F₁ и F₂, причем   | F₁| + | F₂| = 4 Н и (F₁;^{^}F₂) = 120°. Найдите наименьшее значение величины равнодействующей этих сил.

1.82.  Определите, лежат ли в  одной плоскости следующие четыре точки:

а)  M₁ (5; 2; —2), М₂ (6; —3; 1), М₃ (0; 4; 3), М₄ (2; 0; —4);

б)  M₁ (3; 5;  1), М₂ (2; 4; 7), М₃ (1; 5; 3), М₄ (4; 4; 5).

1.83.  Вершины пирамиды находятся в точках   A(2;   1;   —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3) и D (0; —7; 0). Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины D.

1.84.  На  плоскости даны  четырехугольник ABCD  и точка  М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

1.85.  Докажите, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

1.86.  Докажите,  что для  взаимной  перпендикулярности диагоналей   четырехугольника   необходимо   и  достаточно,   чтобы   суммы квадратов длин его прoтивоположных сторон были равны.

1.87.  Велосипедист едет со скоростью  15 км/ч  в северном направлении и ему кажется, что ветер   (который дует со скоростью 9 км/ч откуда-то с северо-востока) направлен под углом 15° к линии его движения. Найдите истинное направление ветра.

1.88.  На  стороне  АВ  треугольника  ABC дана  точка  Р,  через которую проведены прямые параллельно его медианам АМ₁ и ВМ₂ и  пересекающие  соответствующие стороны  треугольника  в  точках A₁  и B₁. Докажите, что середина отрезка A₁B₁ точка  Р и точка пересечения медиан данного треугольника лежат на одной прямой.

ОТВЕТЫ