Глава II. Прямые   на   плоскости.

§ 29. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.

Пусть дана некоторая точка М₀ и вектор n. Проведем через точку М₀ прямую l перпендикулярно вектору п (рис. 82).

Пусть М — произвольная точка. Точка М лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор M₀M^> перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов п и M₀M^> равнялось нулю:

п • M₀M^>  = 0.              (1)

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки М₀ и М имеют координаты (х₀ ; у₀ ) и (х; у).
Тогда    M₀M^> = (х — х₀; у — у₀).   Обозначим координаты нормального вектора п через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

А(х — х₀) + В(у — у₀) = 0.                     (2)

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М₀(х₀ ; у₀ )  перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; —3) перпендикулярно вектору n = (—1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

— 1 • (x—2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x — 5у — 17 = 0.

Задача  2. Даны точки М₁(2; —1) и М₂(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁  перпендикулярно вектору  M₁M₂^>.

Нормальный вектор искомой прямой п = M₁M₂^> имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

2(x—2) + 6(y+1) = 0

или х + 3y + 1 = 0.

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках М₁(—5; 2), М₂(5; 6) и М₃(1; —2) проведена медиана М₁А₁. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку  А₁ перпендикулярно медиане M₁A₁ (рис. 85).

За  нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор п = M₁A₁^>. Определим его координаты. Точка A₁ — середина отрезка М₂М₃, поэтому, если (x₁; y₁) — ее координаты, то .

Тогда   нормальный   вектор п = M₁A₁^>  имеет   координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

8(x—3) + 0 (y—2) = 0    или    x = 3.

Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(—3; —1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне АВ (рис. 86).

За   нормальный   вектор   искомой   прямой можно взять вектор п = AB^>.
Так как п = (2—(—3); 7 —  (—1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора п в формулу (2), получим

5(x—5) + 8(y —4) = 0,

или, окончательно, 5х + 8у — 57 = 0.