Глава II. Прямые   на   плоскости.

§ 30.  Общее уравнение прямой

Пусть дана произвольная прямая. Выберем на ней некоторую точку М₀(х₀; у₀), и пусть п = (А; В) — произвольный нормальный вектор этой прямой. Тогда (см. § 29) уравнением этой прямой будет уравнение

А(х — х₀) + В(у — у₀) = 0.

Запишем его так:

Ах — Ах₀ + Bу — Bу₀ = 0.

Обозначив число — (Ах₀ + Ву₀) через С, получим

Ах + Bу + С = 0.                          (1)

Таким образом, всякая прямая плоскости определяется уравнением (1), т. е. линейным уравнением с двумя переменными.

Докажем теперь, что всякое линейное уравнение является уравнением прямой.

В самом деле, в уравнении (1) по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля, иначе это уравнение не будет линейным. Пусть, например, В =/= 0, тогда уравнение (1) можно записать в виде

A(х — 0) + B (y + ^C/_B) = 0.                (2)

Согласно предыдущему параграфу уравнение (2), а следовательно, и уравнение (1) определяют прямую, проходящую через точку ( 0;  —^C/_B)   и    перпендикулярную вектору  п = (А; В).

Уравнение Ах + Bу + С = 0 называется общим уравнением прямой.

Отметим, что в уравнении Ах + Bу + С = 0 коэффициент А при переменной х является первой координатой нормального вектора прямой, а коэффициент В при переменной  у — второй координатой нормального вектора прямой.

***

Задача 1. Указать нормальные векторы для прямых, заданных уравнениями:

3х — 4у + 5 = 0,    y = ²/₅x + 17,    х = 5.

Нормальным вектором первой прямой является вектор   n = (3;   — 4),   второй — вектор n = (²/₅ ;  — 1), третьей — вектор n = (1; 0).

***

Рассмотрим, как располагается прямая относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С общего уравнения прямой.

1. Если в общем уравнении прямой А = 0, то уравнение ее можно записать в виде
By + С = 0   или   у = —^C/_B  Это означает, что все точки прямой имеют одну  и ту же координату  ( —^C/_B ). Следовательно, прямая параллельна оси Ох (рис. 87).

Если   А = 0  и  С = 0, то уравнение принимает вид у = 0, т. е. является уравнением оси Ох.

2. Если в уравнении (1) В = 0, то уравнение прямой можно записать в виде Ах + С = 0 или х = —^C/_А . Это означает,   что  все  точки   прямой   имеют одну и ту же абсциссу   ( —^C/_A ) . Следовательно, прямая параллельна оси Оу (рис. 88).

Если B = 0 и С = 0, то уравнение принимает вид х = 0, т. е. является уравнением оси   Оу.

3. Если С = 0, то уравнение (1) имеет вид Ax +  By = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки О (0; 0) и, следовательно, прямая l, определяемая уравнением, проходит через начало координат (рис. 89).

4. Если А =/= 0, B =/= 0 и С =/= 0, то прямая не параллельна оси Ох, не параллельна оси Оу и не проходит через начало координат (рис. 90).

В этом случае уравнение   (1)   приводится   к виду  уравнения   в   отрезках:

и, следовательно, прямая, определяeмая уравнением (1), проходит через точки   
( —^C/_A ; 0 ) и ( 0; —^C/_B )

Задача 2. Как расположены прямые:
а) х — у =  0;     б) х + у = 0;     в) 3х— 12 = 0;      г) 5y + 20 = 0;     д) 3х + 4у = 0?
Построить эти прямые.

а) Так как уравнение прямой не содержит свободного члена, то прямая проходит через начало координат. Так как для любой точки прямой абсцисса равна ординате, то прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов (рис. 91).

б) Уравнение прямой не содержит свободного члена, следовательно, прямая проходит через начало координат. Так как для каждой точки абсцисса и ордината равны по абсолютной величине, но имеют противоположный знак, то эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов (рис. 92).

в) Уравнением этой прямой после упрощения будет уравнение х = 4. Прямая параллельна оси ординат и проходит через точку (4; 0) (рис. 93).

г) Уравнение этой прямой можно записать   в   виде y = —4.    Она    параллельна   оси   абсцисс   и проходит через точку (0;   —4) (рис. 94).

д) Так как в уравнении отсутствует свободный член, то прямая проходит через начало координат. Для того чтобы построить прямую, нужно найти координаты еще какой-либо точки. Например, пусть х = 4, тогда из уравнения следует, что для этой точки
у = —3.
Проведем прямую через начало координат О(0; 0) и через точку (4; —3)   (рис. 95).