Глава II. Прямые   на   плоскости.

§ 31.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости, где имеется прямоугольная декартова система координат, прямая l проходит через точку М₀ параллельно направляющему вектору а (рис. 96).

Если прямая l пересекает ось Ох (в точке N), то под углом прямой l с осью Ох будем понимать угол α, на который необходимо повернуть ось Ох вокруг точки N в направлении, обратном вращению часовой стрелки, чтобы ось Ох совпала с прямой l. (Имеется в виду угол, меньший    180°.)   

Этот   угол    называют углом наклона прямой. Если прямая l параллельна оси Ох, то угол наклона принимается равным нулю (рис. 97).

Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k:

tg α = k.                                   (1)

Если α = 0, то и k = 0; это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.

Если α = 90°, то k = tg α не имеет смысла: это означает, что прямая, перпендикулярная оси Ох (т. е. параллельная оси Оу), не имеет углового коэффициента.

Угловой коэффициент прямой можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой. Пусть даны две точки прямой: M₁(x₁; у₁) и M₂(x₂; у₂)  и пусть, например, 0 < α < 90°, а  x₂ > x₁,  у₂ > у₁ (рис. 98).

Тогда из прямоугольного треугольника M₁РM₂ находим  

Итак,

Аналогично доказывается, что формула (2) верна и в случае 90° < α < 180°.

Формула (2) теряет смысл, если x₂ — x₁ = 0, т. е. если прямая l параллельна оси Оу. Для таких прямых угловой коэффициент не существует.

***

Задача 1. Определить угловой коэффициент примой, проходящей через точки
M₁(3; —5) и М₂(5; —7).

Подставляя координаты точек M₁ и М₂ в формулу (2), получим

     или      k = — 1 ^

Задача 2. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M₁(3; 5) и M₂(3; —2).

Так как x₂ — x₁= 0, то равенство (2) теряет смысл. Для этой прямой угловой коэффициент не существует. Прямая M₁M₂ параллельна оси Оу.

Задача 3. Определить угловой коэффициент прямой,  проходящей через начало координат и точку  M₁(3; —5)

В этом случае точка M₂ совпадает с началом координат. Применяя формулу (2), получим

***

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку
M₁(x₁; у₁). По формуле (2)  угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек. В нашем случае точка M₁ задана, а в качестве   второй   точки   можно   взять любую точку М(х; у) искомой прямой.

Если точка М лежит на прямой, которая проходит через точку M₁ и имеет угловой коэффициент k, то в силу формулы (2) имеем

Если же точка М не лежит на прямой, то равенство    (3)    не   выполняется.   Следовательно,  равенствo (3)   и есть уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; у₁)  с угловым коэффициентом k; это уравнение обычно записывают в виде

y — y₁ = k (x — x₁).                          (4)

Если прямая пересекает ось Оу в некоторой точке (0; b), то уравнение (4) принимает вид

у — b = k (х— 0),

т.е.

y = kx + b.                            (5)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.

Задача 4. Найти угол наклона прямой √3 х + 3у — 7 = 0.

Приведем данное уравнение к виду

Следовательно, k = tg α = — ¹/_√3   , откуда α = 150° ^

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; —4), с угловым коэффициентом k = ²/₅

Подставив k = ²/₅ , x₁ = 3, y₁ = — 4 в уравнение (4), получим

у — (— 4) =  ²/₅ (х — 3)    или    2х — 5у — 26 = 0.

Задача 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q (—3; 4) и составляющей с положительным направлением оси Ох угол 30°.

Если α = 30°, то k = tg  30° = ^√3/₃. Подставив в уравнение (4) значения x₁, y₁ и k, получим

у —4 = ^√3/₃ (x + 3)    или    √3 x —3y + 12 + 3√3 = 0.