Глава II. Прямые   на   плоскости.

§ 32.  Вычисление угла между прямыми, заданными общими уравнениями.  
          Условия параллельности и перпендикулярности двух  прямых.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями

A₁x + В₁у + C₁ = 0   и   А₂х + В₂ y + С₂ = 0.

Обозначим через φ величину угла между прямыми l₁ и l₂ , а через ψ — угол между нормальными векторами n₁ = {А₁; B₁) и n₂ = (A₂; В₂) этих прямых.
Если ψ < 90° (рис. 99, a), то φ = ψ. Если же ψ > 90° (рис. 99, б), то φ = 180° — ψ. Легко видеть, что в любом случае верно равенство

cos φ = | cos φ |.

Согласно формуле (1) § 20 имеем

и, следовательно, косинус угла φ между прямыми l₁ и l₂ может быть вычислен по формуле

              (1)

Записав правую часть формулы (1) через координаты, получим

      (2)

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

— 3x —4y + 25 = 0  и   4х + 3у — 25 = 0.

По формуле (2) получаем

откуда по таблице косинусов находим φ ≈ 16°^

Прямые с нормальными векторами n₁ и n₂:

а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы n₁ и n₂  коллинеарны;

б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы n₁ и n₂ перпендикулярны, т. е. когда n₁ • n₂ = 0.

Отсюда получаем необходимые и достаточные уcловия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями.

Для того чтобы прямые

A₁x + В₁у + C₁ = 0   и   А₂х + В₂ y + С₂ = 0

были:

а) параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

б) перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

A₁A₂ + В₁В₂ = 0

Задача 2. Среди следующих пар прямых:

6х—15у + 7 = 0   и   10х + 4у— 1 = 0,
5х— 7у — 4 = 0  и   3х + 2у —13 = 0,
х — 2у +1=0   и   2х — 4у — 1 = 0

указать параллельные или перпендикулярные.

Для первой пары прямых A₁A₂ + В₁В₂ = 6•10  + (—15) •4 = 0, т. е. выполнено условие перпендикулярности. Прямые перпендикулярны.
Для второй пары прямых

Следовательно, прямые второй пары не параллельны и не перпендикулярны.

Для третьей пары прямых

т. е. прямые параллельны.

Если прямые

A₁x + В₁у + C₁ = 0   и   А₂х + В₂ y + С₂ = 0     (3)

имеют общую точку, то ее координаты удовлетворяют каждому из уравнений (3). Поэтому для нахождения общих точек данных прямых нужно решить систему

Если прямые (3) не параллельны, т. е. если то они пересекаются. Координаты точки пересечения находятся из системы (4), которая в этом случае имеет единственное решение.

Если    прямые     (2)     параллельны,   т.   е.   если , то они либо совпадают, и тогда система (4) имеет бесконечное множество решений (координаты каждой точки прямой являются решением системы), либо не совпадают, и тогда система (4) решений не имеет.