|
|
|
Глава II. Прямые на плоскости. § 36*. Расстояние от точки до прямой Пусть даны точка M1{x1 ; y1) и прямая l , заданная своим нормированным уравнением х cos φ + у sin φ — р = 0. Найдем расстояние d от точки M1 до прямой l, т.e. длину отрезка M1K, где К — проекция точки M1 на прямую l (рис. 103).
Пусть, как и в § 35, М0 (р cos φ; р sin φ) —точка пересечения прямой l с перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат; п0 = (cos φ; sin φ) —-единичный нормальный вектор прямой l. Искомое расстояние d равно модулю проекции вектора M0M1> на направление зектора KM1> или, поскольку KM1> и п0 коллинеарны, на направление вектора п0 . Итак,
Выразим проекцию вектора M0M1>на направление вектора п0 через скалярное произведение этих векторов. Согласно формуле (3)§ 17 получим
Так как M0M1> ={x1 — р cos φ; у1 — р sin φ) и п0 = (cos φ; sin φ), то d = | (x1 — р cos φ)cos φ + (у1 — р sin φ) sin φ| = = | x1 cos φ + у1 sin φ — p(соs2φ + sin2 φ)| и, окончательно, d = |x1 cos φ + у1 sin φ — p|. (1) Таким образом, расстояние от точки до прямой равно модулю числа, получающегося, в результате подстановки в левую часть нормированного уравнения прямой координат данной точки. Задача 1. Определить расстояние от точки М(3; 2) до прямой 4х — 3у + 14 = 0. Нормируем уравнение прямой. В данном случае нормирующим множителем является число Поэтому уравнение По формуле (1) находим расстояние
Задача 2. Найти расстояние между параллельными прямыми 24х — 10y + 39 = 0 и y = 12/5 х — 26/5. Для определения расстояния между двумя параллельными прямыми достаточно выбрать на одной из них какую-либо точку и затем найти расстояние от этой точки до другой прямой. Точка M (0;3,9) лежит на первой прямой, так как 24•0 — 10•3,9 + 39 = 0.
поэтому ее нормированное уравнение будет таким: 12/13 х — 5/13 y — 2 = 0 Искомое расстояние d находим по формуле (1): d = |12/13 • 0 — 5/13• 3,9 — 2| = |—3/2— 2 | = 3,5 |
будет нормированным уравнением данной прямой. 
