Глава II. Прямые   на   плоскости.

Задачи к главе II

2.1. Принадлежит ли точка (— 1; 2) графику уравнения:
а) 3х + 5у — 7 = 0;     б) 2х² — 3ху — 8 = 0;

в) 4х²— y² — 1 = 0;   г) 3х² — х + у  =  6  ?

2.2. Постройте графики уравнений:

а) 3х — 2у — 1 = 0; б) 2х + 3у + 2 = 0;

в) 4х²— 2у— 3 = 0; г) 2х² — 4у — 1 = 0;

д) (x —3) (x — 4) — у = 0;     е) х² + y² =1.

2.3. Является ли точка (—3; 1) точкой пересечения графиков уравнений:

а) у — х = 4  и  ху = —3;

б) х² — y² = 8    и    3х +12y =1?

2.4. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку M₀  параллельно вектору а, если:

а) М₀  (—1; 2), a = (3; 2);   б) М₀  (0; 1), а = (1; 0);
в) М₀(3; — 2), а = (1; 3);      г) М₀ (2; 0), а = (0; —3).

2.5. Постройте прямую, заданную уравнениями:

2.6. Постройте прямую, проходящую через точку А (0; 3) параллельно вектору а = (2; 1).

2.7. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М₀ параллельно вектору а, если:

а) М₀(3; — 4),     а = (1; — 4);      б) М₀(1; 0),   а = (0; 3);

в) М₀ ( ¹/₂ ;1,5), а = (—3; —2);   г) М₀ (0; —3), а =(— 4; 0).

2.8. Постройте прямую, проходящую через точку Е (4; — 3) параллельно вектору i.

2.9. Составьте каноническое уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку М₀ (2; —4).

2.10. Прямая задана уравнением . Укажите какую-нибудь точку прямой и ее направляющий вектор.

2.11. Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х + у — 3 = 0 и 5х — 3у — 2 = 0 параллельно вектору j.

2.12. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х + у = 3 и 3х — 2у = 4 параллельно вектору а = (—7; 11).

2.13. Составьте уравнение прямой, проходящей через две данные точки, если:

a) M₁(—1; 6),  М₂ (—2; —3);      б) M₁ (—3; 2),  М₂ (4; 3);

в) M₁(²/₃; ¹/₅), М₂ (⁵/₆;0, 3);   г) О(0; 0), М (3; —2).

2.14. Для прямой y = — ²/₃ x + 6 напишите ее уравнение в отрезках.

2.15. Для прямой 3х — 7у = 5 напишите ее уравнение в отрезках.

2.16. Найдите точки пересечения прямой с осями координат и постройте эту прямую:

а) 3х — 2у — 12 = 0;   б) 8х — 3у + 12 = 0.

2.17. Даны последовательно вершины выпуклого четырехугольника А (—6; —2), B(6; 7), С (9; 3) и D (1; —3). Определите точку пересечения его диагоналей.

2.18. Вычислите площадь треугольника, отсекаемого прямой 3х + 4у — 12 = 0 от координатного угла.

2.19. Состаььте уравнение прямой, если точка М (2; 1) — середина ее отрезка, заключенного между осями координат.

2.20. Прямая отсекает на осях координат в первой четверти конгруэнтные отрезки. Составьте уравнение прямой, если площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат, равна 18.

2.21. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку В (0; 8), если площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат, равна 16.

2.22. Определите площадь треугольника, ограниченного прямой 5х + 8у — 40 = 0 и осями координат.

2.23. Дан треугольник с вершинами в точках М (0; —2), N (0; 2) и Р (2; 4). Составьте уравнения стороны MP, медианы NE и высоты ND.

2.24. Дан треугольник с вершинами в точках А(—5; —5), B(1; 7) и С(5; —1). Составьте уравнения сторон и медиан этого треугольника. Найдите координаты центра тяжести этого треугольника.

2.25. Какая из прямых 2х — 3y + 4 = 0 и  х — y = 0 отсекает на оси ординат больший отрезок?

2.26. Точка из начала координат движется со скоростью v = 3i + 2j. Найдите траекторию движения точки.

2.27. Постройте прямую, проходящую через течку С(3; —2) перпендикулярно вектору  n = (1; 4).

2.28. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку D(2; —3) перпендикулярно вектору n = (4; — 1).

2.29. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (3; —2) перпендикулярно вектору n = (3; —2).

2.30. Постройте прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору n = (3; 4).

2.31. Прямая задана уравнением — 3 (х + 5) + ¹/₇  (у — 6) = 0. Укажите какую-нибудь точку прямой и ее нормальный вектор.

2.32. Среди прямых А (х — 2)+ В (у + 3) = 0 выделите ту прямую, которая перпендикулярна вектору n  = (4; 1).

2.33. Постройте прямую, проходящую через точку С(0; 3) перпендикулярно вектору j.

2.34. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку W(3; 4) перпендикулярно вектору j.

2.35. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку F перпендикулярно вектору n  = (2; 5), если точка F симметрична точке К(3; —4) относительно оси Ох.

2.36. Составьте уравнение прямой, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно ему, если A(3; —2), В (5; —4).

2.37. Через точки пересечения прямой 5x — 2у — 10 = 0 с осями координат проведены перпендикуляры к этой прямой. Напишите их уравнения.

2.38. В треугольнике с вершинами в точках M₁(— 4; —3), M₂(—3; 4) и M₃(2; 1) проведена медиана M₂D. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M₂ перпендикулярно медиане M₂D.

2.39. Составьте уравнения перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника ABC, где А(1; 3), В(—1; 0), С(1; —⁴/₃), на его стороны и убедитесь, что они пересекаются в одной точке.

2.40. Запишите общее уравнение каждой из данных прямых и укажите координаты нормального вектора:

.  

2.41. Прямая задана уравнением 2х — 3у — 6 = 0. Запишите: а) уравнение этой прямой в отрезках; б) каноническое уравнение этой прямой; в) параметрические уравнения этой прямой.

2.42. Постройте прямые:

а) 3х — у + 5 = 0;   б) х — 3у — 4 = 0;   в) х + у + 1 = 0.

2.43. Найдите точку пересечения следующих пар прямых:

а) 3x— 2y —5 = 0,     5x + y—17 = 0;

б) 4x — 3y — 7 = 0,    2x + 3y —17 = 0;

в) 2x + 5y — 29 = 0,    5х + 2y — 20 = 0;

г) 3x + 2y — 13 = 0,     5x — 3y — 9 = 0;

д) x — y —7 = 0,     3x — 3y + 5 = 0.

2.44. Даны уравнения сторон треугольника:

x — y + 4 = 0,    4x + 2y — 19 = 0,    5x + 6y + 9 = 0.

Найдите координаты его вершин.

2.45. Даны уравнения двух сторон параллелограмма

8x + 3у + 1 = 0,    2x + у — 1 = 0

и уравнение одной из его диагоналей

3x + 2у + 3 = 0.

Найдите координаты вершин этого параллелограмма.

2.46. Даны уравнения двух сторон параллелограмма   х — 4y + 11= 0,   2х + у — 5 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х — y — l = 0. Найдите координаты вершин этого параллелограмма.

2.47. Как расположены прямые: у — х = 0; 2x + .у = 0;  4х — 12 = 0; 6у + 24 = 0;
2х —3y = 0; х = — 4,5;  y = 8? Постройте эти прямые.

2.48. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку N (4; — 3) и параллельных осям координат.

2.49. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку P (5; —2) и перпендикулярных осям координат.

2.50. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку D(—3; —2) и начало координат.

2.51. Вычислите угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки A(3; 5) и B (—2; 4).

2.52. Какой угол образует прямая, проходящая через две точки A(2; 0) и В(4; —2), с положительным направлением оси абсцисс?

2.53. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точку D(— 1; — 1) и начало координат.

2.54. Найдите тангенс угла наклона прямой, проходящей через точку С(—2; 1/2) и начало координат.

2.55. Напишите уравнения двух каких-либо прямых, но таких, чтобы первая из них составляла с положительным направлением оси абсцисс угол, в два раза больший, чем вторая прямая.

2.56. Найдите угол наклона следующих прямых:

а) 3x + 3у —7 = 0;    б) 2 √3 х — 2у + 5 = 0; в) у + 10 = 0;    г) х — 5 = 0.

2.57. Дано уравнение прямой ^x/₃ + ^y/₅ = 1. Требуется найти величину угла этой прямой с положительным направлением оси абсцисс.

2.58. Найдите угловой коэффициент   прямой   3х — 7y + 2 = 0 и постройте ее.

2.59. Найдите тангенс угла наклона прямой 3х — 4у + 13 = 0 и определите, какой отрезок она отсекает на оси ординат.

2.60. Определите какая из прямых 2х —3у + 4= 0  и  x — y = 0 составляет больший угол с положительным направлением оси ординат.

2.61. Прямая задана параметрическими уравнениями х =  —3 + 3t, у = 2 — 6t. Запишите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

2.62. Вычислите угол между прямыми:

2.63. Среди следующих пар прямых укажите пары параллельных или перпендикулярных прямых:

.    

2.64. При каком значении a прямые параллельны ?

2.65. При каком значении  b прямые    перпендикулярны?

2.66. Вычислите угол между прямыми:

а) х + 5у + 9 = 0  и  2х —  3у + 1 = 0;

б) 2х + у — 5 = 0  и   3х — у + 4 = 0;

в) 2х — 3у + 12 = 0  и  3х — у + 5 = 0;

г) 2х — 3у — 7 = 0  и     х + y — 2 = 0;

д) 3х + 2у — 7 = 0  и  2х — 3у + 9 = 0.

2.67. Среди следующих пар прямых укажите пары параллельных или перпендикулярных прямых:

а) 2х — 3у —7 = 0  и  4х — 6у + 9 = 0;

б) 3х + 2у —5 = 0 и 4х — 6у + 9 = 0;

в) 3х + 2у — 5 = 0  и  4х — 6у —5 = 0.

2.68. При каком значении а прямые 2х — 4у + 9 = 0  и  ах — 2у + 9 = 0 параллельны?

2.69. При каком значении b прямые 2х —2у —35 = 0  и  х + bу+ 1 = 0 перпендикулярны?

2.70. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых. В случае их пересечения определите координаты точки пересечения:

а) х + у — 3 = 0  и   3х + 3у — 9 = 0:

б) х = 4  и  х + у = 0;

в) у = 0  и у —7 = 0;

г) 2х + у + 1 = 0  и    2х + у + 5 = 0.

2.71. Вычислите угол между прямыми:

а) у = — 2х + 5     и   у = 3х + 4;

б) у = √3х + 7     и   у = — √3 х — 2;

в) y = — ²/₃ х +  ¹/₆   и  y =  ¹/₃ х +  ⁵/₃;

г) y = — 3х + 7     и   y = x + 4;

д) y = ²/₃ х + 4       и   y = ²/₃ х + ⁵/₂.

2.72. Среди следующих пар прямых укажите пары параллельных или перпендикулярных прямых:

a)  y = — ⁵/₃ x + 7   и   y = — ⁵/₃ x + 5;

б) у = ³/₅ х + 3      и   y = — ⁵/₃ x + 5;

в) y = ¹/₂ х + 3    и   y = ¹/₃ х + 2.

2.73. При каком значении а прямые у = аx + 3  и  у = — 3x + 2  параллельны?

2.74. При каком значении а прямые у = аx — 1  и  у = 5x + 3 перпендикулярны?

2.75. Дана прямая 3х — 4y + 5 = 0. Определите угловой коэффициент прямой:

а) параллельной данной прямой;

б) перпендикулярной данной прямой.

2.76. Дана прямая 2х — 3у + 5 = 0. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(4; —5):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно данной прямой.

2.77. Через точку пересечения прямых х — y + 4 = 0 и 4х + 2у — 19 = 0 проведена прямая, параллельная прямой 2х — 3у  + 6 = 0. Найдите ее уравнение.

2.78. Через точку пересечения прямых 4х + 2у — 19 = 0 и 5х + 6y + 6 = 0 проведена прямая, перпендикулярная прямой х + у + 1=0. Найдите ее уравнение.

2.79. Дана прямая    ^x/₄ + ^y/₃ = 1. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения этой прямой с осью абсцисс перпендикулярно биссектрисе первого координатного угла.

2.80. Определите, какие из следующих уравнений прямых являются нормированными:

a) ³/₅ x + ⁴/₅ y — 5 = 0;    б) ³/₅ x — ⁴/₅ y + 5 = 0;

в) ⁴/₅ x — ³/₄ y — 7 = 0;   

г) y —3 = 0;            д) х — 15 = 0.

2.81. В каждом из следующих случаев приведите общее уравнение прямой к нормированному виду и найдите расстояние от начала координат до данной прямой:

а) 3х — 4у — 25 = 0;    б) ³/₅ x — ⁴/₅ y + 20 = 0;

в) х + 5 = 0;    г) 5х — 12 у + 26 = 0;

д)  ⁵/₁₃ x + ¹²/₁₃ y +13 = 0.

2.82. Дана прямая  ^x/₃ + ^y/_—2 = 1. Определите расстояние до этой прямой от начала координат.

2.83. Составьте уравнения прямых, перпендикулярных прямой 2х + у = 0, если расстояние от начала координат до этих прямых равно 3.

2.84. Найдите расстояние от данной точки до данной прямой:

a) M₀ (³/₂; 9).       4x + 3у — 8 = 0;

б) M₀(— ³/₂; —9),    4x + 3у — 17 = 0.

2.85. Вычислите расстояние между параллельными прямыми;

а) 4x — 3y + 25 = 0,     8x — 6y + 25 = 0:

б) 5х — 12y + 26 = 0,    5x—12 y —13 = 0;

в) 3x — 4y —20 = 0,     6x — 8y + 25 = 0.

2.86. Даны вершины треугольника: A (2; 1), B (— 2; 3) и С (—10 ; —13). Вычислите длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

2.87. Через точку пересечения прямых 3х + 2у—13 = 0, х + 3у — 9 = 0 проведена прямая параллельно прямой ^x/₄ + ^y/₅ = 1. Составьте ее уравнение. Найдите расстояние от этой прямой до прямой ^x/₄ + ^y/₅ = 1.

2.88. Запишите уравнения прямых, параллельных прямой 4х + 3y + 1 «= 0 и отстоящих от нее на расстоянии 3 единиц.

2.89. Запишите уравнение прямой, которая параллельна прямым
3х + 2у = 5 и 6х + 4y + 4 = 0 и расстояние от которой до этих прямых было бы одинаковым.

2.90. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) так, что расстояние до этой прямой от точек (2; 3) и (4; —5) одинаково.

ОТВЕТЫ