|
|
|
Глава III. Кривые второго порядка § 37. Окружность. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром. Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности |CM| = R. (1) Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.
Так как | СМ | = √(x — a)2 + (у — b)2, то уравнение (1) можно записать так: √(x — a)2 + (у — b)2 = R или (x — a)2 + (у — b)2 = R2 (2) Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение (x — l)2 + (y + 3)2 = 25 есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3). Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид x 2 + у 2 = R2. (3) Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности. Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат. Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6). Подставив значение координат точки Си значение радиуса в формулу (2), получим Задача 3. Найти центр и радиус окружности (х + 3)2 + (у —5)2 =100. Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10. Задача 4. Доказать, что уравнение x 2 + у 2 + 4х — 2y — 4 = 0 является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус. Преобразуем левую часть данного уравнения: x 2 + 4х + 4— 4 + у 2 — 2у +1—1—4 = 0 или (х + 2)2 + (у — 1)2 = 9. Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3. Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3). Напишем уравнение прямой АВ:
Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:
Напишем уравнение искомой окружности (x +1)2 + (y +1)2 = 144/25
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R2. Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).
Пусть радиус-вектор OM> точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t x = R cos t ; y = R sin t , 0< t < 2π. (4) Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями окружности с центром в начале координат. Задача 6. Окружность задана уравнениями x = √3 cos t, y = √3 sin t, 0< t < 2π. Записать каноническое уравнение этой окружности. Из условия следует x 2 = 3 cos2 t, у 2 = 3 sin2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем x 2 + у 2 = 3(cos2 t + sin2 t ) или x 2 + у 2 = 3 |
или 4х + 3y —5 = 0.
