Глава III. Кривые второго порядка

§ 39. Исследование эллипса по его каноническому  уравнению.

Рассмотрим эллипс, заданный в некоторой прямоугольной декартовой системе координат своим каноническим уравнением

 (1)

Отметим следующие свойства эллипса.

1) Эллипс (1) пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Для того чтобы определить координаты точек пересечения эллипса (1) с осью Ох, нужно решить совместно их уравнения:

, y = 0

Точка пересечения эллипса с осью Ох должна иметь ординату у = 0 и в то же время принадлежать эллипсу. Подставив у = 0  в уравнение эллипса, получим   х  = ± а.

Итак, точками пересечения эллипса (1) с осью Ох будут А (а; 0) и С(—а; 0). Аналогично находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В(0; b) и D(0; —b) (рис. 109).

Точки А, В, С и D называются вершинами эллипса.

Отрезок АС называется большой осью эллипса, отрезок BD — малой осью.
Фокусы F₁ и F₂ эллипса лежат на большой оси. Длина большой оси, очевидно, равна
2а, малой оси —   2b. Числа а и b называют полуосями эллипса.

2) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

В уравнение (1) переменные х и у входят только во второй степени. Следовательно, если координаты точки  N(x; у)   удовлетворяют уравнению (1), то этому же уравнению также будут удовлетворять и координаты точек N₁(—х ; у) и N₂(x ; —у). Легко видеть, что точка N₁ симметрична точке N относительно оси ординат, точка N₂ симметрична точке N относительно оси абсцисс.

Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая оси эллипса лежат на его осях симметрии. Заметим, что в частном случае, когда а = b, т. е. когда эллипс является окружностью, осью симметрии будет любая прямая, проходящая через центр окружности.

3) Эллипс имеет центр симметрии.

Если координаты точки N(x; у) удовлетворяют уравнению (1), то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки К(—х; —у). Точка К, очевидно, симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет цeнтр симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

4) Эллипс может быть получен равномерным сжатием окружности.

Рассмотрим окружность радиуса R = а с центром в начале координат (рис. 110). Пусть Р(Х; У)— произвольная точка этой окружности.

Тогда

       (2)

Точке Р(Х; У) на окружности сопоставим точку Р₁(х; у) такую, что

x= Х   и   y = ^b/_aY.

Точка P₁ получается сдвигом точки Р, при котором абсцисса не изменяется, а ордината уменьшается в отношении ^b/_a.

Координаты   точки P₁ удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Следовательно, точка Pi находится на эллипсе.

Таким образом, эллипс (1) можно получить из   окружности (2) равномерным сжатием к оси ОХ, при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же отношении, равном ^b/_a .

Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения ^b/_a; чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и, наоборот, чем больше отношение ^b/_a  тем эллипс будет менее сжатым, более округлым. При значениях отношения ^b/_a, близких к единице, эллипс будет мало отличаться от окружности. При наибольшем значении отношения  ^b/_a , т. е. при ^b/_a = 1, эллипc превращается в окружность.

В качестве характеристики формы эллипса   удобнее пользоваться не отношением  ^b/_a, а отношением ^c/_a.
Отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси а называется эксцентриситетом эллипса.   Эксцентриситет обозначается буквой ε . Таким образом,

ε = ^c/_a

Так как 0 < с < а, то эксцентриситет эллипса удовлетворяет неравенствам

0 < ε < 1.

Выразим эксцентриситет эллипса через отношение ^b/_a полуосей эллипса:

откуда

     (3)

Из полученной формулы видно, что меньшим значениям отношения ^b/_a соответствуют большие значения эксцентриситета. Поэтому чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс. При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность. Эксцентриситет окружности, таким образом, равен нулю.

Задача 1. Построить эллипсы

Для каждого эллипса   вычислить его эксцентриситет.

 По данным уравнениям находим полуоси эллипсов: a₁ = 5, b₁= 4 и a₂ = 5, b₂ = 3. Отмечаем на чертеже (рис. 111) вершины первого эллипса: точки A₁ (5; 0), B₁ (0; 4),
C₁ (—5; 0), D₁(0; —4). Две вершины второго эллипса находятся в точках A₁ и С₁ две другие вершины — в точках В₂(0; 3) и D₂ (0; —3).

Построим окружность х² + у² = 25. Точки первого эллипса получим сдвигом к оси ОХ точек этой окружности, при котором ординаты уменьшаются в отношении ^b1/_a1 = ⁴/₅. Точки второго эллипса получим сдвигом точек окружности, при котором ординаты уменьшаются в отношении ^b2/_a2 = ³/₅.    Заметим, что достаточно получить точки эллипса в одном из квадрантов координатной плоскости, а затем воспользоваться симметрией эллипса   относительно осей координат. На рис. 111 первый эллипс изображен кривой A₁B₁C₁D₁, второй — кривой A₁B₂C₁D₂. Эксцентриситеты эллипсов находим по формуле (3):

У второго эллипса эксцентриситет больше, чем у первого; второй эллипс сильнее сжат к своей большой оси.

Замечание. Эллипс  можно построить и теми методами, которые изучаются в алгебре и началах анализа. Для этого следует разрешить уравнение эллипса относительно переменной у и построить графики  функций
у = ^b/_a √a² — x²  и   у = —  ^b/_a √a² — x²   .

Разумеется, достаточно построить график одной из этих функций и затем воспользоваться симметрией эллипса относительно оси Ох.

5) Эллипс (1) может быть задан параметрическими уравнениями

х = a cos t,   y = b sin t,      0 < t < 2π.     (4)

В предыдущем пункте было доказано, что если точка Р(Х; У) лежит на окружности радиуса R = а с центром в начале координат, то точка Р₁(х ; у), где х = X,  у = ^b/_a У,  лежит на эллипсе (1) (см. рис. 110). Координаты точек окружности радиуса R = а с центром в начале координат выражаются через величину t  угла между радиус-вектором точки Р и осью Ох следующим образом:

X  = a cos t,   Y =  a sin t,     0 < t < 2π.

Следовательно, координаты х и у точек эллипса выражаются через тот же параметр t уравнениями (4). Действительно,

х = X = a cos t,

у = ^b/_aY =  ^b/_a  a sin t = b sin t,     0 < t < 2π.

При a = b получаем параметрические уравнения окружности.

Задача 2. Дан эллипс 9x² + 16y² = 144. Написать его параметрические уравнения.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

откуда a² = 16, b² = 9, и, следовательно, а = 4, b = 3. По формулам (4) получаем параметрические уравнения

х = 4cos t,    y = 3sin t .

Задача 3. Даны параметрические уравнения эллипса

х = 5 cos t,    y = 3sin t.

Записать его каноническое уравнение.

В данном случае получаем а = 5, b = 3. Следовательно, каноническим уравнением эллипса будет уравнение