Глава III. Кривые второго порядка

§ 40. Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Данные точки называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними — фокальным расстоянием.

Обозначим фокусы гиперболы буквами F₁ и F₂.
Пусть фокальное расстояние | F₁F₂ | = 2с.

Если М — произвольная точка гиперболы (рис. 112), то по определению гиперболы модуль разности | F₁M | —  | F₂M |  постоянен. Обозначив его через 2а, получим

| | F₁M | —  | F₂M | | = 2a. (1)

Отметим, что по определению гиперболы 2а < 2с, т. е. а < с.

Равенство (1) есть уравнение гиперболы.

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы гиперболы; ось ординат проведем через середину отрезка F₁F₂  перпендикулярно ему (рис. 113).

Тогда фокусами гиперболы будут точки F₁ (— c; 0) и  F₂ (c; 0).

Пусть М(х; у)—любая точка гиперболы, тогда

| F₁М | = √(x + c)²+ y²    и  | F₂М | = √(x —  c)²+ y²   .

Подставляя значения | F₁M |  и  | F₂M | в уравнение (1), получаем

| √(x + c)²+ y²    — √(x —  c)²+ y²   | = 2а.  (2)

Полученное нами уравнение представляет собой уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Это уравнение можно привести к более простому виду.

Пусть х > 0, тогда уравнение (2) можно записать без знака модуля следующим образом:

√(x + c)²+ y²    — √(x —  c)²+ y²  = 2а,

или

√(x + c)²+ y²   =2а + √(x —  c)²+ y²            (3)

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

(х + с)² + у² = 4а² + 4а √(x —  c)²+ y²   + (х — с)² + у².

После соответствующих упрощений и преобразований:

√(x —  c)²+ y²   = ^c/_a х — a,    (4)

(х — с)² + у²  = ( ^c/_a х — a)²,

приходим к уравнению

     (5)

По определению гиперболы а < с, поэтому с² — a² — положительное число. Обозначим его через b², т. е. положим b² = с² — a². Тогда уравнение (5) примет вид

Разделив почленно на b², получим уравнение

    (6)

Если х < 0, то уравнение   (2)   переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x —  c)²+ y²     —  √(x + c)²+ y²   = 2а,

и точно так же, как и в случае х > 0, преобразуется к виду (6).

Уравнение (6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Замечание. Возведение в квадрат обеих частей уравнения (3) и (4) не нарушило равносильности уравнений. Обе части уравнения (3), очевидно, неотрицательны при всех значениях х и у. Левая часть уравнения (4) также всегда неотрицательна. При х > а правая часть уравнения (4) положительна, так как

^c/_a х — a > ^c/_a a — a = с — a > 0

Итак, посторонние точки могли бы появиться только при условии 0 < х < а, но из уравнения (6) следует, что x²/a²  > 1, т. е. | x | > а.

Задача 1. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку
М (—5; ⁹/₄), если фокальное расстояние гиперболы равно 10.

Так как |F₁F₂|= 10, то с = 5. Запишем каноническое уравнение гиперболы

По условию точка М (—5; ⁹/₄) принадлежит гиперболе, следовательно,

Второе уравнение для определения а² и b² дает соотношение

b² = с² — a² = 25 — a².

Решив систему

найдем a² =16, b² = 9. Искомым уравнением будет уравнение

Задача 2. Доказать, что уравнение

20x² — 29y² = 580

является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

Разделив обе части уравнения на 580, получим

Это уравнение гиперболы, для которой  a²  = 29, b² = 20.
Из соотношения c² = a²  + b²  находим c² = 29 + 20 = 49, с = 7. Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках F₁(—7; 0) и F₂(7; 0).