Глава III. Кривые второго порядка

§42. Парабола

Парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что данная точка не лежит на прямой).

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через р.

Выберем систему координат следующим образом. Ось Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе. Точку пересечения оси абсцисс с директрисой обозначим D
(рис. 118), за начало координат О примем середину отрезка DF, за положительное направление оси Ох примем направление луча OF.

В выбранной системе координат фокус F имеет координаты  ( ^p/₂; 0),   а директриса имеет уравнение

x + ^p/₂ = 0

Пусть М(х; у) — любая точка искомого множества. Опустим из точки М перпендикуляр на директрису, и пусть N — основание этого перпендикуляра. Тогда |МN| есть расстояние от точки М до директрисы и, следовательно,

|МF|  = |МN| .

Так как

то

      (1)

Полученное уравнение является уравнением параболы в выбранной системе координат. Это уравнение можно упростить.

Поскольку обе части уравнения (1) неотрицательны, то уравнение

равносильно исходному уравнению (1).
После дальнейших очевидных преобразований

получим уравнение

у² = 2рх.          (2)

Оно называется каноническим уравнением параболы.
Отметим следующие свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии.

Переменная у входит в уравнение (2) только во второй степени. Поэтому, если координаты точки N₁(x; у) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки
N₂(x; —у) будут удовлетворять ему. Точка N₁ симметрична точке N₂ относительно оси Ох. Следовательно, ось Ох является осью симметрии параболы (2). Ось симметрии параболы называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы (2) находится в начале координат.

2) Парабола (2) расположена в полуплоскости х > 0.

Действительно, так как фокальный параметр р положителен, то уравнению (2) могут удовлетворять только точки с неотрицательными абсциссами, т. е. точки полуплоскости х > 0.

3) Парабола (2) является объединением графиков функций
у = + √2px      и   у = — √2px      (рис. 119).

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно разрешить уравнение (2) относительно переменной у.

Замечание. Форма параболы хорошо известна из курса восьмилетней школы, в котором парабола изучалась как график функции

у = αx²  + βx + γ          (3)

Отличие уравнений (2) и (3) параболы объясняется тем, что в различных системах координат одна и та же кривая задается разными уравнениями. В следующем параграфе этот вопрос освещается подробно.

Задача 1. Дана парабола у² = 3х. Найти точки параболы, расстояние от которых до фокуса равно 1.

Так как 2р = 3, то     ^p/₂  = ³/₄  и фокус параболы находится в точке F  (  ³/₄ ; 0) .

Пусть М(х ; у) — искомая точка. Тогда, согласно условию,

Следовательно, для нахождения координат точки М нужно решить систему уравнений

Решая эту систему, получаем

( x + ³/₄ )² = 1,    x + ³/₄  = 1,     x = ¹/₄ ,
y = 3 • ¹/₄ =  ³/₄  

,Таким образом, существуют две точки, расстояние которых до фокуса равно 1:  
( ¹/₄ ; — ^√3/₂ )   и   (¹/₄ ; ^√3/₂).

Задача 2. Световой луч у = —2 падает на зеркало, осевым сечением которого является парабола у² = 24х (рис. 120).

Найти уравнение прямой, которой принадлежит отраженный луч.

  Если падающий луч параллелен главной оптическойоси параболического зеркала, то отраженный луч проходит через его фокус. В данном случае ось параболического зеркала совпадает с осью Ох. Прямая у = —2 параллельна оси абсцисс, и потому отраженный луч пройдет через фокус параболы у² = 24х. Так как  2р  =  24, т. е.  ^p/₂ = 6, то фокусомпараболы является точка F(6; 0) Для нахождения точки падения светового луча нужно решить систему уравнений

Решив эту систему, найдем точку падения луча А (¹/₆ ; — 2). Отраженный луч принадлежит прямой, проходящей через точки (¹/₆ ; — 2)  и  (6;0). Запишем уравнение этой прямой:

Из него получим 12x — 35у — 72 = 0.

Решение этой задали иллюстрирует важное оптическое свойство, присущее параболическому зеркалу: если в его фокусе поместить источник света, то все его лучи, отражаясь от поверхности зеркала, образуют пучок лучей, параллельных оси параболы. Это свойство используется для изготовления прожекторов, автомобильных фар, антенн радиолокаторов и т. д.