Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 45. Основные  аксиомы стереометрии

Простейшие пространственные фигуры (тела): куб, призма, пирамида, шар, конус, цилиндр и др., и их свойства изучались еще в курсе геометрии восьмилетней школы. Заметим, что некоторые свойства пространственных фигур использовались при изучении векторов в главе I настоящего учебника.

В этой главе более подробно, чем это делалось раньше, изучается раздел геометрии, относящийся к расположению прямых и плоскостей в пространстве. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией.

Основными понятиями стереометрии язляются точка, прямая и плоскость. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Прямые и плоскости состоят из бесконечного множества точек пространства и не совпадают со всем пространством.

Сформулируем основные аксиомы стереометрии. Напомним, аксиомы — это предложения, принимаемые без доказательства. Аксиомы геометрии являются абстракцией соответствующих свойств окружающего нас реального мира.

Будем предполагать, что для любой плоскости пространства выполняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии. Кроме того, будем предполагать справедливыми следующие аксиомы стереометрии:

1. Через любые две различные точки проходит единственная прямая.

2. Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.

3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

4. Если две различные плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой.

Используя эти аксиомы, докажем следующие утверждения:

1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

1. На данной прямой  l  возьмем какие-нибудь две точки А и В (рис. 128). Тогда по аксиоме 3 через данную точку М и точки А и В проходит единственная плоскость р и все точки прямой l принадлежат плоскости р.

Следовательно, плоскость р проходит через прямую l и не принадлежащую ей точку М. Другой такой плоскости нет, так как она должна проходить через три точки А, В, М, не лежащие на одной прямой, и, следовательно, должна совпасть с плоскостью р.

2. Действительно, пусть прямые 1₁ и 1₂ пересекаются в точке М (рис. 129). На прямых 1₁ и 1₂ возьмем какие-нибудь точки A и В, отличные от точки М. Тогда через три точки А, В, М проходит единственная плоскость р. В силу аксиомы 2 плоскость р проходит через данные прямые 1₁ и 1₂.