Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 46.  Взаимное расположение прямых  в  пространстве

В пространстве две различные прямые могут лежать или не лежать в одной плоскости. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость р и выберем некоторую точку S, не принадлежащую плоскости р (рис. 130).

Тогда прямые АВ и ВС лежат в одной плоскости, именно в плоскости р, прямые AS и СВ не лежат в одной плоскости. Действительно, если бы они лежали в одной плоскости, то и точки А, В, С, S лежали бы в этой плоскости, что невозможно, так как S не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными. Совпадающие прямые также называются параллельными. Если прямые 1₁ и 1₂ параллельные, то пишут 1₁ || 1₂.

Таким образом,  1₁ || 1₂, если, во-первых, существует плоскость р такая, что
1₁  р и 1₂  р и, во-вторых, или 1₁ 1₂ =  или 1₁ = 1₂.

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Очевидно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными.

Докажем одно важное свойство параллельных прямых, которое называется транзитивностью параллельности.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Пусть 1₁ || 1₂ и 1₂ || 1₃. Нужно доказать, что 1₁ || 1₃

Если прямые 1₁ , 1₂ , 1₃ лежат в одной плоскости, то это утверждение доказано в планиметрии. Будем предполагать, что прямые 1₁ , 1₂ , 1₃ не лежат в одной плоскости.

Через прямые 1₁ и 1₂  проведем плоскость р₁, а через 1₂ и 1₃ — плоскость р₂ (рис. 131).

Заметим, что прямая 1₃ содержит хотя бы одну точку М, не принадлежащую плоскости
р₁.

Через прямую и точку М проведем плоскость р₃, которая пересечется с плоскостью р₂ по некоторой прямой l. Докажем, что  l совпадает с 1₃. Доказывать будем «методом от противного».

Предположим, что прямая 1 не совпадает с прямой 1₃. Тогда 1пересекает прямую 1₂ в некоторой точке A. Отсюда следует, что плоскость р₃ проходит через точку А  р₁ и прямую 1₁ р₁ и, следовательно, совпадает с плоскостью р₁. Этот вывод противоречит тому, что точка М  р₃ не принадлежит плоскости р₁.   
Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому 1 = 1₃.

Таким образом, доказано, что прямые 1₁ и 1₃ лежат в одной плоскости  р₃. Докажем, что прямые 1₁ и 1₃ не пересекаются.

Действительно, если бы 1₁ и 1₃ пересекались, например, в точке В, то плоскость  р₂ проходила бы через прямую 1₂ и через точку В  1₁ и, следовательно, совпадала бы с р₁, что невозможно.

Задача. Доказать, что углы с   сонаправленными   сторонами имеют равные величины.

Пусть углы MAN и M₁A₁N₁ имеют сонаправленные стороны: луч AM сонаправлен лучу А₁М₁, а луч AN сонаправлен лучу A₁N₁ (рис. 132).

На лучах AM и А₁М₁ отложим равные по длине отрезки АВ и А₁В₁. Тогда

[BB₁] || [AA₁]   и  |BB₁| =  |AA₁|

как противоположные стороны параллелограмма.

Аналогично, на лучах AN и A₁N₁ отложим равные по длине отрезки АС и А₁С₁ . Тогда

[CC₁] || [AA₁]   и   |CC₁| =  |AA₁|

Из транзитивности параллельности следует, что [BB₁] || [CC₁]. А так как |BB₁| = |CC₁| , то BB₁C₁C — параллелограмм, и   поэтому |ВС| = |B₁C₁|.
Следовательно, /\ ABC    /\ А₁В₁С₁ и   .