Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 49. Угол между прямыми в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l₁ || l и  m₁ || m  (рис. 138).

Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые  l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l₁ = l и  m₁ = m).

Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l₁ и  m₁ ( l₁ || l ,  m₁ || m). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Угол между прямыми l и m обозначается   . Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0°<    < 90°, а если в радианах, то  0 <   <   ^π/₂ .

Задача. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 139).

Найти угол между прямыми АВ и DС₁ .

Прямые АВ и DС₁ скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС₁, согласно определению, равен .
Следовательно,  = 45°.

Прямые l и m называются перпендикулярными, если   = ^π/₂. Например, в кубе
(см. рис. 139) прямая A₁D₁перпендикулярна прямым DC, DC₁, СС₁ .