Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 50. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если прямая перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 140).

Если прямая l перпендикулярна плоскости р, то пишут l  _|_  р.

Очевидно, если прямая перпендикулярна плоскости, то она пересекает эту плоскость. Действительно, если l не пересекает р, то l ||  р. Тогда в р есть прямая l₁ || l, а это противоречит тому, что l  _|_  р.

Задача 1. Доказать, что через данную точку М можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости р.

Пусть через точку М проходят две различные прямые l₁ и l₂, перпендикулярные плоскости р (рис. 141).

Через пересекающиеся прямые l₁ и l₂ проведем плоскость q и рассмотрим прямую
m = p   q.
Получим : в плоскости q к прямой m через точку М проведено два перпендикуляра, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно.

Докажем теперь признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.

Пусть прямая NM перпендикулярна двум пересекающимся прямым l₁ и l₂ плоскости р
(рис. 142). Требуется доказать, что прямая NM перпендикулярна плоскости р, т. е. перпендикулярна любой прямой 1  р .

Через точку N  р проведем прямые l'₁, l'₂ и l'  так, что l'₁|| l₁ , l'₂ || l₂  и l' || l' (рис. 143).

Очевидно,  достаточно доказать, что прямая NM перпендикулярна  прямой l' , если она перпендикулярна прямым  l'₁ и  l'₂ .

На прямых l'₁ и  l'₂ по разные стороны от точки N. возьмем четыре точки А, В, С, D так, чтобы

|AN| = |BN| = |CN| = |DN |.

Четырехугольник ABCD будет прямоугольником, причем |AD| = |ВС|. Далее, так как прямая NM перпендикулярна прямым АС и BD, то |МА| = |МС|  = |МВ| = |MD| (рис. 144).

Отсюда следует, что треугольники ADM и ВСМ конгруэнтны (по трем сторонам).

Точка N является центром симметрии прямоугольника ABCD, и поэтому |LN| = |NK| и |LD| = |ВК|. Из конгруэнтности треугольников MLD и МВК следует, что |ML| = |МК|. Таким образом, треугольник MLK равнобедренный, и [MN] — его медиана. Следовательно, прямая NM перпендикулярна прямой KL.

Задача 2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁  (рис. 145).

Доказать, что прямая АС перпендикулярна плоскости сечения BDD₁B₁.

Так как ABCD — квадрат, то (AC)_|_(BD). А так как ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, то прямая D₁D перпендикулярна плоскости основания ABCD и, следовательно, (D₁D)_|_(АС). Прямые D₁D и BD пересекаются и принадлежат плоскости сечения BDD₁B₁.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая АС перпендикулярна плоскости BDD₁B₁ .