Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 52.  Двугранные углы

Напомним, что любая прямая l на плоскости разбивает множество всех точек плоскости, не принадлежащих этой прямой, на два множества так, что если точки М и N принадлежат разным множествам, то отрезок MN пересекается с прямой l, если же точки М и N принадлежат одному из множеств, то отрезок MN не пересекается с прямой l. Эти множества называются открытыми полуплоскостями с границей l. Объединение открытой полуплоскости и ее границы называется полуплоскостью с границей l.

Напомним также, что углом (на плоскости) называется фигура, состоящая из двух лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.

Два луча с общим началом ограничивают два угла с общими сторонами. Если стороны угла образуют прямую, то такой угол называется развернутым.

В пространстве рассмотрим фигуру Г, образованную двумя различными полуплоскостями α и β с одной и той же границей l (рис. 153).

Эта фигура делит множество не принадлежащих ей точек пространства на две части H₁ и Н₂, для которых она является общей границей.
Каждая из фигур Ф = H₁  Г и Ф = H₂  Г называется двугранным углом с ребром l  и гранями α и β.

Все точки двугранного угла, не принадлежащие граням, образуют его внутреннюю область. Двугранный угол называется развернутым, если его грани образуют одну плоскость.

Двугранный угол будем обозначать с помощью знака  /  и букв, указывающих его грани и ребро. Буква, обозначающая ребро двугранного угла, ставится между буквами, обозначающими его грани, например: /  α l β . Иногда обозначают двугранный угол кратко, ставя только название ребра, например: /  l .

Пусть дан двугранный угол α l β. Проведем через произвольную точку О ребра этого двугранного угла плоскость р, перпендикулярную ребру l (рис. 154).

Получим угол АОВ

/ AOB =  p    /  α l β.

Отметим, что величина этого угла не зависит от положения точки О на ребре l. В самом деле, если выбрать на ребре l другую точку O₁ и провести другую плоскость p₁, перпендикулярную ребру  l , то величина угла A₁O₁B₁ будет равна величине угла АОВ
(рис. 155), так как эти углы являются углами с сонаправленными сторонами.

Угол, являющийся пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру, называется линейным углом двугранного угла. Из определения следует, что стороны линейного угла перпендикулярны ребру двугранного угла.

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Величину двугранного угла α l β обозначают  например  = 30°,  = 45° и т. д.

Двугранный угол называют острым, прямым или тупым в зависимости от того, будет ли линейный угол этого двугранного угла острым, прямым или тупым.

Заметим, что любые две пересекающиеся плоскости р и q разбивают множество всех точек пространства, не принадлежащих этим плоскостям, на четыре непересекающихся множества. Каждая из этих частей лежит внутри соответствующего двугранного угла. Величина наименьшего из этих четырех двугранных углов называется углом между данными пересекающимися плоскостями р, q и обозначается . Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0°. Из определения следует, что

0° <    < 90°.