Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 53.  Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями прямой. Если плоскости p и q перпендикулярны, то пишут р _|_ q.

Докажем следующий признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Пусть прямая l лежит в плоскости р и перпендикулярна плоскости q.
Докажем, что р _|_ q (рис. 156).

Через точку N = 1    q в плоскости q проведем прямую NM, перпендикулярную прямой k = p    q . Тогда /  LNM будет линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями р и q. А так  l _|_ q, то этот угол прямой. Следовательно, р _|_ q.

Задача. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ , в котором построено диагональное сечение BDD₁B₁ (см.рис. 145).

Доказать, что плоскость диагонального сечения и плоскость основания куба перпендикулярны.

Плоскость BDD₁B₁ проходит через прямую (D₁D), которая перпендикулярна плоскости основания куба; поэтому по доказанной теореме плоскость диагонального сечения и плоскость основания куба перпендикулярны.