|
|
|
Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники § 56. Трехгранные и многогранные углы Пусть даны /\ АВС и точка S, не принадлежащая плоскости треугольника (рис. 168).
Точка S называется вершиной трехгранного угла, лучи SA, SB, SC — его ребрами. Углы ASB, BSC, CSA называются гранями трехгранного угла или его плоскими углами. Величина каждого из них принадлежит интервалу ]0°; 180°[. Вообще, если даны многоугольник ABC ... N и точка S, не принадлежащая плоскости многоугольника, то объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный многоугольник (рис. 170), называется многогранным углом.
Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, SN — его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями многогранного угла или его плоскими углами; величина каждого его плоского угла принадлежит интервалу ]0°; 180°[. Многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными и т. д. в зависимости от числа граней. Обозначают многогранный угол или одной буквой, обозначающей вершину, или несколькими буквами, отмечая вершину и точки на каждом ребре. Многогранный угол называется выпуклым, если он находится по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае многогранный угол называется невыпуклым. На рис. 171 изображен невыпуклый пятигранный угол.
Выпуклый многогранный угол называется правильным, если все его грани конгруэнтны и все его двугранные углы конгруэнтны. Рассмотрим свойства плоских углов трехгранных и многогранных углов. Теорема 1. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов. Пусть дан трехгранный угол SABC. Величины его плоских углов обозначим α , β , γ
Пусть γ — большая из них. Достаточно доказать, что γ < α + β. В плоскости грани ASB проведем луч SM так, чтобы В /\ ABD |AD| + |DB| > |AB|, а по построению |AB| = |AN| + |NB| и |AD| = |AN|, следовательно, |DB| > |NB|. Выразим теперь |DB| и |BN| из треугольников BSD и BSN при помощи теоремы косинусов: |BD|2 = |BS|2 + |DS|2 — 2|BS| • |DS| • cos α, Так как |DS| = |NS| , а | DB |> |NB|, то cos α < cos
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что величина каждого плоского угла трехгранного угла больше разности величин двух других его плоских углов, например α > γ — β, β > γ — α Теорема 2. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Пусть дан трехгранный угол SABC (рис. 173).
Если через точки А, В, С проведем плоскость, то получим еще три трехгранных угла: ASBC, BSAC и CSAB. Применим к каждому из них теорему о сумме величин двух плоских углов трехгранного угла:
Сложив почленно эти неравенства, получим
а- так как сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°, то
Обозначим
Теперь неравенство (1) принимает вид 180° — α + 180° — β + 180° — γ > 180°, откуда и следует, что α + β + γ <360°. Разбивая выпуклый многогранный угол на трехгранные углы, можно доказать следующее утверждение. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°, а каждый плоский угол меньше суммы остальных плоских углов. |
. Пусть N — точка пересечения отрезка АВ и луча SM. На луче SC отложим отрезок SD такой, что 
/\ ASN по двум сторонам и углу между ними.
.
< α + β, или γ < α + β. 
. (1)
, тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем