Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 57. Призма

Если через каждую точку плоской ломаной провести прямые, параллельные данному направлению, не параллельному плоскости ломаной, то получим бесконечную призматическую поверхность (рис. 174).

Если провести через каждую точку многоугольника прямые, параллельные данному направлению, не параллельному плоскости многоугольника, то получим бесконечную призму. Любые две параллельные плоскости, не параллельные выбранному направлению, отсекают от нее многогранник, называемый призмой (рис. 175).

Части параллельных плоскостей, отсекаемые призматической поверхностью, называются основаниями призмы.

Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы, а их объединение составляет боковую поверхность призмы. Общие стороны параллелограммов называются боковыми ребрами призмы, а стороны основания иногда называют ребрами основания.

Призмы называются треугольными, четырехугольными, пятиугольными, п-угольными в зависимости от числа   вершин   многоугольника,   лежащего в основании (рис. 176).

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не лежащие на одной грани, называется диагональю призмы. Ясно, что у треугольной призмы диагоналей нет. Методом математической индукции можно доказать, что число диагоналей у п-угольной призмы равно
п(п — 3).

Например, четырехугольная призма имеет 4• (4 — 3) = 4 (рис. 177), а пятиугольная —
5• (5 — 3) = 10 диагоналей.

Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не лежащих на одной грани, называется диагональной плоскостью (рис. 178). Отрезок перпендикуляра, проведенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания, называется высотой призмы. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой (рис. 179). Если боковые ребра призмы не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной.

Проекция оснований призмы на плоскость, перпендикулярную ребрам призмы, называется перпендикулярным сечением призмы (рис. 180).

Очевидно, что перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, который получается в сечении соответствующей бесконечной призмы плоскостью, перпендикулярной ребрам призмы.

Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра призмы, т. е.

S_бок. = Р• l

где Р — периметр перпендикулярного сечения, а l — длина бокового ребра.

Проведем доказательство для треугольной призмы (см. рис. 180).

Пусть А'В'С — перпендикулярное сечение данной призмы. Так как (А'В') _|_ (ВВ₁), то
[А'В'] — высота параллелограмма АВВ₁А₁.
Его площадь равна

S_ABB1A1= |A'B'| • l

Аналогично,

S_BCC1B1= |B'C'| • l,    S_ACC1A1= |A'C'| • l.

Следовательно,

S_бок = (|A'B'|  + |B'C'| +|A'C'| )• l = Р• l

Призму, в основании которой находится параллелограмм, называют параллелепипедом. Из определения следует, что все грани параллелепипеда — параллелограммы (рис. 181).

Для параллелепипеда верна теорема: середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии. Из этой теоремы следует, что противоположные грани параллелепипеда попарно конгруэнтны и параллельны, а все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 182).

Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости его основания, называется прямым. У прямого параллелепипеда боковые грани — прямоугольники (рис. 183). Прямой параллелепипед, у которого основания — прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, конгруэнтны, называется кубом. Таким образом, у куба все грани — конгруэнтные квадраты.